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Factoriser une expression (1)

Définition
Factoriser, c'est transformer une expression en la faisant passer d'une somme à un produit.
Formule
k × A + k × B = k × (A + B)
• Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B.
• Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Exemple
Factoriser l'expression (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7).
• Cette expression est de la forme k × A + k × B, avec :
  • k = (x + 3)
  • A = (x + 1)
  • B = (2x + 7)
• Or k × A + k × B = k × (A + B).
• Donc (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) = (x + 3) ×
[(x + 1) + (2x + 7)]. On met des crochets car il y a déjà des parenthèses.
• D'où (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) =
(x + 3) × (x + 1 + 2x + 7).
• Soit finalement (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) =
(x + 3) × (3x + 8). Le sigle × est facultatif entre (x + 3) et (3x + 8).
Adaptation de la formule
a. La formule peut être adaptée de deux façons :
  • dans une multiplication, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance. Donc A × k + B × k = k × (A + B), car k × A = A × k ;
  • soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Donc Anb/>× k − B × k = k × (A − B).
Exemple
Factoriser 7(x + 1) − x(x + 1).
• Cette expression est de la forme A × k − B × k, avec k = (x + 1), A = 7 et B = x.
Or A × k − B × k = k × (A − B).
Donc 7(x + 1) − x(x + 1) = (x + 1) × (7 − x).
b. Lorsqu'il y a plusieurs termes, il faut « allonger » la formule.
k × A + k × B + k × C = k × (A + B + C)
Exemple
Factoriser 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1).
• Cette expression est de la forme A × k − B × k + C × k, avec k = (x + 1), A = 7, B = 2 et C = x.
Or A × k − B × k + C × k = k × (A − B + C).
Donc 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1) × (7 − 2 + x).
Soit finalement 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
c. Parfois, le facteur commun est caché !
Exemple
Factoriser 3x2 + x.
Il faut essayer de le faire apparaître : 3x2 + x = 3 × x × x + 1 × x.
On a 3 × x × x + 1 × x.
C'est de la forme A × k + B × k, avec k = x, A = 3 × x = 3x et B = 1.
Or A × k + B × k = k × (A + B).
Donc 3 × x × x + 1 × x = x × (3x + 1).
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