Définition
Factoriser, c'est transformer une expression en la faisant passer d'une somme à un produit.
Formule
k × A + k × B = k × (A + B).
• Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B.
• Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Exemple
Factoriser l'expression (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7).
• Cette expression est de la forme k × A + k × B, avec :
- k = (x + 3)
- A = (x + 1)
- B = (2x + 7)
• Or k × A + k × B = k × (A + B).
• Donc (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) = (x + 3) ×
[(x + 1) + (2x + 7)]. On met des crochets car il y a déjà des parenthèses.
[(x + 1) + (2x + 7)]. On met des crochets car il y a déjà des parenthèses.
• D'où (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) =
(x + 3) × (x + 1 + 2x + 7).
(x + 3) × (x + 1 + 2x + 7).
• Soit finalement (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(2x + 7) =
(x + 3) × (3x + 8). Le sigle × est facultatif entre (x + 3) et (3x + 8).
(x + 3) × (3x + 8). Le sigle × est facultatif entre (x + 3) et (3x + 8).
Adaptation de la formule
a. La formule peut être adaptée de deux façons :
- dans une multiplication, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance. Donc A × k + B × k = k × (A + B), car k × A = A × k ;
- soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Donc A × k − B × k = k × (A − B).
Exemple
Factoriser 7(x + 1) − x(x + 1).
• Cette expression est de la forme A × k − B × k, avec k = (x + 1), A = 7 et B = x.
Or A × k − B × k = k × (A − B).
Donc 7(x + 1) − x(x + 1) = (x + 1) × (7 − x).
Or A × k − B × k = k × (A − B).
Donc 7(x + 1) − x(x + 1) = (x + 1) × (7 − x).
b. Lorsqu'il y a plusieurs termes, il faut « allonger » la formule.
k × A + k × B + k × C = k × (A + B + C)
k × A + k × B + k × C = k × (A + B + C)
Exemple
Factoriser 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1).
• Cette expression est de la forme A × k − B × k + C × k, avec k = (x + 1), A = 7, B = 2 et C = x.
Or A × k − B × k + C × k = k × (A − B + C).
Donc 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1) × (7 − 2 + x).
Soit finalement 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
Or A × k − B × k + C × k = k × (A − B + C).
Donc 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1) × (7 − 2 + x).
Soit finalement 7(x + 1) − 2(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
c. Parfois, le facteur commun est caché !
Exemple
Factoriser 3x2 + x.
Il faut essayer de le faire apparaître : 3x2 + x = 3 × x × x + 1 × x.
On a 3 × x × x + 1 × x.
C'est de la forme A × k + B × k, avec k = x, A = 3 × x = 3x et B = 1.
Or A × k + B × k = k × (A + B).
Donc 3 × x × x + 1 × x = x × (3x + 1).
Il faut essayer de le faire apparaître : 3x2 + x = 3 × x × x + 1 × x.
On a 3 × x × x + 1 × x.
C'est de la forme A × k + B × k, avec k = x, A = 3 × x = 3x et B = 1.
Or A × k + B × k = k × (A + B).
Donc 3 × x × x + 1 × x = x × (3x + 1).
Exercice n°1
Factorise au maximum les écritures suivantes.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
1. x2 − 5x = ( − )
2. 2 (a + b) − 5 (a + b) = ( + b)
3. 2x2 − 6x + 2xy = ( − + )
4. (x + 1) (x − 2) + 2 (x − 2) = ( − 2) (x + )
2. 2 (a + b) − 5 (a + b) = (a + b) (2 − 5)
2 (a + b) − 5 (a + b) = (a + b) (-3)
2 (a + b) − 5 (a + b) = (a + b) (-3)
3. Pense que :
6 = 2 × 3 et x2 = x × x.
6 = 2 × 3 et x2 = x × x.
4. (x + 1) (x − 2) + 2 (x − 2) = (x − 2) ( x + 1 + 2)
Exercice n°2
Factorise les expressions suivantes.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
1. A = (x − 2) (x + 3) − (x − 2)
A = ( − ) [( + ) − ]
A = ( − ) ( + )
A = ( − ) [( + ) − ]
A = ( − ) ( + )
2. B = (x − 2) (x + 3) − (2x + 6)
B = ( + ) [( − ) − ]
B = ( + ) ( − )
B = ( + ) [( − ) − ]
B = ( + ) ( − )
3. C = (x + 3) (x − 5) − (x + 3)2
C = ( + )
C = ( + )
1. A = (x − 2) (x + 3) − (x − 2)
A = (x − 2) (x + 3) − (x − 2) × 1
A = (x − 2) [(x + 3) − 1]
A = (x − 2) (x + 3) − (x − 2) × 1
A = (x − 2) [(x + 3) − 1]
2. B = (x − 2) (x + 3) − (2x + 6)
B = (x − 2) (x + 3) − 2 (x + 3)
B = (x + 3) (x − 2 − 2)
B = (x − 2) (x + 3) − 2 (x + 3)
B = (x + 3) (x − 2 − 2)
3. C = (x + 3) (x − 5) − (x + 3)2
C = (x + 3) (x − 5) − (x + 3) (x + 3)
C = (x + 3) (x − 5) − (x + 3) (x + 3)
Exercice n°3
L'expression donnée est-elle sous forme factorisée ?
Coche la bonne réponse
Coche la bonne réponse
a = x2 − 5
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
b = (x + 3) (x − 1) − 4
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
c = 2x2 − (x + 3) (x − 1)
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
d = (x2 − 1) (2x + 3)
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
Une expression factorisée est écrite sous forme de produit.
Exercice n°4
Complète le texte avec les adjectifs qui conviennent.
Faites glisser les étiquettes dans les zones prévues à cet effet.
une somme
un produit
A = 5x + 1
A est
A est
imcAnswer9|imcAnswer12?
.B = 5(x + 1)
B est
B est
imcAnswer10|imcAnswer11|imcAnswer13?
.C = 3x(x − 1)
C est
C est
imcAnswer10|imcAnswer11|imcAnswer13?
.D = (x + 1)(x − 3) + 1
D est
D est
imcAnswer9|imcAnswer12?
.E = (2x − 1)(3x + 5)
E est
E est
imcAnswer10|imcAnswer11|imcAnswer13?
.Exercice n°5
Coche la bonne réponse.
A = x2 − 5x
A peut s'écrire sous forme factorisée :
A peut s'écrire sous forme factorisée :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
B = 2x2 − 6x + 2xy
B peut s'écrire sous forme factorisée :
B peut s'écrire sous forme factorisée :
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme.
A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x.
B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Exercice n°6
Coche la bonne réponse.
A = 2a2 + a
A peut s'écrire sous forme factorisée :
A peut s'écrire sous forme factorisée :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
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B = −x(x + 1) + 2x
B peut s'écrire sous forme factorisée :
B peut s'écrire sous forme factorisée :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
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A : le facteur commun est a, si l'on développe a(2a + 1), on retrouve bien 2a2 + a.
B : le facteur commun est x.
B = x [−(x + 1) + 2]
B = x [−x− 1 + 2]
B = x (−x + 1)
B = x [−(x + 1) + 2]
B = x [−x− 1 + 2]
B = x (−x + 1)
