Calculer une probabilité

Fiche

Formule de Laplace

Si les résultats de l'expérience ont la même « chance » d'aboutir (c'est-à-dire dans une situation d'équiprobabilité), alors la probabilité d'un événement A est noté p(A) et correspond au rapport :
p(A) = $\frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}$

Exemple

• Énoncé
On jette un dé équilibré à six faces, on regarde la face supérieure du dé.
Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro pair ?

• Solution
On dit dans l'énoncé que le dé est équilibré, donc on est dans une situation d'équiprobabilité.
On note A l'événement « Obtenir un numéro pair ».
Le nombre d'issues favorables est égal à 3 (lorsque la face supérieure indique les numéros 2, 4 ou 6).
Le nombre d'issues possibles est égal à 6 (puisque l'on a six faces).
D'après la formule de Laplace, on a :
p(A) = $\frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$
Donc on a une chance sur deux d'obtenir un numéro pair en jetant un dé équilibré.
On dit aussi que la probabilité est égale à 0,5, ou encore à 50 %.

Cas particuliers

Considérons un événement A.
Lorsque p(A) = 0, alors l'événement est dit impossible.
Lorsque p(A) = 1, alors l'événement est dit certain.

• On lance une pièce et on considère l'événement A : « la pièce tombe sur la tranche ».
L'issue « tomber sur la tranche » ne fait pas partie des issues possibles. Donc p(A) = 0 et l'événement A est impossible.

• On lance un dé l'événement B : « la face supérieure du dé est un nombre inférieur ou égal à 6 ».
Toutes les issues possibles sont des issues favorables à l'événement YB. On a donc p(Y) = 1 et l'événement B est certain.

Propriétés

Si A est un événement d'une expérience aléatoire, on a 0 inférieur ou égal

p(A)

1.
La somme de tous les événements élémentaires constitués à partir des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Exemple

Lorsqu'on lance une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir « pile » est égale à 0,5 (1 chance sur 2).
La probabilité d'obtenir « face » est aussi égale à 0,5.
La somme des probabilités est égale à 1.

Événement contraire

Soit A un événement. On note $\bar{A}$ (lire A « barre ») l'événement contraire de A.
On a : p(A) + p( $\bar{A}$ ) = 1

Exemple

On lance un dé, considérons l'événement B : « la face supérieure du dé est 1 ».
L'événement contraire $\bar{B}$ de B est « la face supérieure du dé est différente de 1 ».
On a p(B) = $\frac{1}{6}$ . Donc p( $\bar{B}$ ) = 1 − $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ − $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ .
Il y a bien 5 issues favorables : tous les nombres 2, 3, 5, 5, 6 parmi les 6 issues possibles.
La probabilité de l'événement « la face supérieure du dé est différente de » est égale à 5/6.
(On peut dire aussi que l'on a 5 chances sur 6 d'obtenir un numéro différent de 1 en lançant un dé équilibré).