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Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle
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Si on connaît un angle et un côté d'un triangle rectangle, on peut calculer les autres côtés.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On donne : \hat{b} = 30° et AC = 5.
On veut calculer BC et AB.
[AC] étant le côté opposé à l'angle \hat{b}, on peut calculer BC avec \mathbf{\mathit{\sin~\hat{b}}} ; puis calculer AB avec \mathbf{\mathit{\tan~\hat{b}}}
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle - illustration 1
• Calcul de BC :
\sin~\hat{b}~=~\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} ; donc \displaystyle \mathbf{BC~=~\frac{AC}{\mathit{\sin~\hat{b}}}}
BC = 5 ÷ sin 30° = 5 ÷ 0,5 = 10 
• Calcul de AB :
\tan~\hat{b}~=~\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} ; donc \displaystyle \mathbf{AB~=~\frac{AC}{\mathit{\tan~\hat{b}}}}
AB = 5 ÷ tan 30° = 8,66
Exercice n°1
Soit un triangle MNP rectangle en M. L'angle \hat{N} mesure 20° et NP vaut 9.
On veut calculer MP et MN (valeurs arrondies au centième).
Complète le raisonnement.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
1. On connaît NP, l' de MNP.
2. Pour calculer MP, le côté  à l'angle \hat{N}, on utilise le  de cet angle.
On obtient : MP = .
3. Pour calculer MN, le côté  à l'angle \hat{N}, on utilise le  de cet angle.
On obtient : MN = .
2. sin \hat{N} = \frac{MP}{NP} ; sin 20° = \frac{MP}{9}.
Donc MP = 9 × sin 20°.
3. cos \hat{N} = \frac{MN}{NP} ; cos 20° = \frac{MN}{9}.
Donc MN = 9 × cos 20°.
Exercice n°2
ABC est un triangle rectangle en A tel que \widehat {\mathrm{C}} = 37° et AC = 5.
La longueur BC est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{5}{\sin 37^\circ }
\frac{\sin 37^\circ }{5}
\frac{5}{\cos 37^\circ }
\frac{\cos 37^\circ }{5}
5 cos 37°
5 sin 37°
cos \widehat {\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} donc BC = \frac{\mathrm{AC}}{\cos 37^\circ } = \frac{5}{\cos 37^\circ }.
Exercice n°3
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 3 et \widehat{\mathrm{ABC}} = 63°. Alors : (l'unité de longueur est le cm)
Cochez la bonne réponse.
AB = \frac{3}{\cos 63°}
AB = \frac{3}{\sin 63°}
AB = 3 \times \sin 63°
Dans le même triangle :
Cochez la bonne réponse.
BC = \frac{3}{\sin 63°}
BC = \frac{3}{\tan 63°}
BC = 3 \times \tan 63°
ABC est un triangle rectangle en C tel que BC = 3 et \widehat{\mathrm{ABC}} = 63°. Alors :
Cochez la bonne réponse.
AB = \frac{3}{\cos 63°}
AB = \frac{3}{\sin 63°}
AB = 3 \times \cos 63°
Dans le même triangle :
Cochez la bonne réponse.
AC = 3 sin 63°
AC = 3 tan 63°
AC = \frac{3}{\tan 63°}
Exercice n°4
Soit un triangle RST rectangle en R.
L'angle en S mesure 60° et RT vaut 10.
On veut calculer RS.
Complète le raisonnement.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
On connaît RT, le côté à l'angle \hat{S}, et on veut calculer la longueur RS du côté .
On va donc utiliser de l'angle.
 \hat{S} = \frac{RT}{RS} ; d'où RS =  (arrondi à l'unité).
On connaît le côté opposé à l'angle \hat{S} et on cherche le côté adjacent.
Il faut donc utiliser la tangente de l'angle \hat{S}.
tan \hat{S} = \frac{10}{RS} ; RS = \frac{10}{tan 60}
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