R et ses sous-ensembles, intervalles sur R

« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l'œuvre de l'Homme. » Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis, d'autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers, utiles pour noter l'ensemble des solutions d'une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ?
• On distingue plusieurs ensembles de nombres.
Ensemble N est l'ensemble des nombres entiers ou entiers naturels.
Ensemble N = \left\{ {0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}.
Ensemble Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Ensemble Z = \left\{ {\ldots\,;\; - 3\,;\; - 2\,;\; - 1\,;\;0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}.
Ensemble D est l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \frac{a}{{10^n }} avec a \in Ensemble Z et n \in Ensemble N ; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple : \frac{7}{{25}} = \frac{{28}}{{10^2}} = 0,28 est un décimal, mais \frac{1}{3} n'est pas un décimal.
Ensemble Q est l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \frac{a}{b} avec a \in Ensemble Z et b \in Ensemble Z* (ce sont donc des quotients d'entiers).
Par exemple : - 12 = \frac{{ - 12}}{1} et \frac{1}{3} sont des rationnels, mais \sqrt 2 n'est pas un rationnel.
Ensemble R est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons ; on peut le représenter par une droite graduée :
R et ses sous-ensembles, intervalles sur R - illustration 1
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels, c'est-à-dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
• Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions : Ensemble N \subset Ensemble Z \subset Ensemble D \subset Ensemble Q \subset Ensemble R.
Ce qui signifie qu'un naturel est aussi un entier relatif, qu'un entier relatif est aussi un décimal, etc.
• Pour reconnaître la nature d'un nombre :
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d'un quotient irréductible \frac{a}{b}, on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul), \frac{a}{b} est un décimal ; si elle ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et \frac{a}{b} est un rationnel qui n'est pas un décimal ;
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.
Exercice n°1Exercice n°2
2. Comment déterminer une valeur approchée ?
• Lorsque l'on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci n'est pas un nombre décimal, on doit utiliser une valeur approchée.
Par exemple, \frac{1}{3} \approx 0,3333333. Il n'y a pas égalité car les « 3 » continuent à l'infini.
• Une valeur approchée peut être définie par défaut ou par excès. On parle de valeur approchée à 10^{ - p} près, où p est un entier, quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée est inférieure à 10^{ - p}.
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel positif à n décimales :
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter 10^{ - n} à la valeur approchée par défaut) ;
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel négatif à n décimales :
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.
• Pour calculer l'arrondi d'un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à n décimales, puis :
– si la n+1-ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l'arrondi est la troncature ;
– si la n+1-ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l'arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale de la troncature.
Exercice n°3Exercice n°4
À retenir
Ensemble N \subset  Ensemble Z \subset Ensemble D \subset Ensemble Q \subset Ensemble R.
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• L'intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l'un, à l'autre ou aux deux intervalles à la fois.
3. Comment comparer deux nombres ?
• Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que a \le b est équivalent à b - a \ge 0.
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.
• Quelques règles fondamentales à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
• Si a > 1, alors : \sqrt{a} < a < a^2 < a^3.
• Si 0 < a < 1, alors : \sqrt{a} > a > a^2 > a^3.
• Pour tous réels a, b et c, si a \le b et b \le c, alors a \le c.
Exercice n°6
4. Comment utiliser les intervalles ?
• Soient a et b deux réels tels que a \le b.
L'intervalle fermé \left[ {a\,;\;b} \right] est l'ensemble des réels x tels que a \le x \le b.
L'intervalle ouvert \left] {a\,;\;b} \right[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b.
L'intervalle ouvert \left] { - \infty \,;\;a} \right[ est l'ensemble des réels x tels que x < a.
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) \left[ {a\,;\;b} \right[ est l'ensemble des réels x tels que a \le x < b.
On définit de même les intervalles \left] {a\,;\;b} \right], \left] { - \infty \,;\;a} \right], \left[ {a\,;\; + \infty } \right[, \left] {a\,;\; + \infty } \right[.
L'ensemble Ensemble R lui-même peut être noté :\left] { - \infty \,;\; + \infty } \right[.
L'intersection de deux intervalles I et J est l'intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors I \cup J est un intervalle.
Exemple
Si I = \left[ { - 1\,;\;9} \right] et J = \left] {6\,;\;12} \right[, alors : I \cap J = \left] {6\,;\;9} \right] et I \cup J = \left[ { - 1\,;\;12} \right[.
Exercice n°5
5. Comment calculer avec les inégalités ?
Il s'agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l'aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
• Ajouter ou soustraire un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. Si a \le b, alors a + c \le b + c.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve l'ordre. Si a \le b et k > 0, alors ka \le kb.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change l'ordre. Si a \le b et k < 0, alors ka \ge kb.
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si a \le b et c \le d, alors a + c \le b + d.
• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si 0 < a \le b et 0 < c \le d, alors ac \le bd.
Exercice n°07
À retenir
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• La valeur absolue d'un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s'écrit {\rm{d}}\left( {a,b} \right) = \left| {b - a} \right| .
Cochez la bonne réponse.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation : \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \le 3 ?
Cochez la bonne réponse.
S = \left] { - 2\,;\; + \infty } \right[
S = \left] { - \infty\,;\; - \frac{5}{2}} \right] \cup \left[ { - 2\,;\; + \infty } \right[
S = \left] { - \infty\,;\; - \frac{5}{2}} \right] \cup \left] { - 2\,;\; + \infty } \right[
• L'inéquation \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \le 3 est définie pour x \ne - 2 (autrement dit, -2 est une valeur interdite).
L'inéquation \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \le 3 est équivalente à \frac{{x + 1}}{{x + 2}} - 3 \le 0, ou encore à \frac{{x + 1 - 3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} \le 0, soit \frac{{ - 2x - 5}}{{x + 2}} \le 0.
• Le signe d'une fraction dépend du signe de son numérateur et de son dénominateur. Faisons un « tableau de signes » :
R et ses sous-ensembles, intervalles sur R - illustration 3
D'où : S = \left] { - \infty\,;\; - \frac{5}{2}} \right] \cup \left] { - 2\,;\; + \infty } \right[.
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
\frac{{11}}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{119}}{{15}} \in Ensemble N
\frac{{ - \sqrt {500} }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {125} }} \in Ensemble Q
\frac{7}{{16}} \notin Ensemble D
• On calcule \frac{{11}}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{55}}{{15}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{180}}{{15}} = 12 ; or 12 est un entier naturel, donc 12 \in Ensemble N. L'affirmation est vraie.
\frac{{ - \sqrt {500} }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {125} }} = - \sqrt {\frac{{500 \times 8}}{{2 \times 125}}} = - \sqrt {16} = - 4 ; or -4 est un entier relatif donc c'est aussi un rationnel ; - 4 \in Ensemble Q. L'affirmation est donc vraie.
\frac{7}{{16}} = 0,4375 ou \frac{7}{{16}} = \frac{{4~375}}{{10^4 }}, donc c'est bien un décimal et l'affirmation est fausse.
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
\frac{{3\pi + 12}}{{\pi + 4}} est un irrationnel.
2 est un réel.
\sqrt 2 + 1 est un irrationnel.
2 \in Ensemble N et comme Ensemble N \subset Ensemble Z \subset Ensemble D \subset Ensemble Q \subset Ensemble R, on a en particulier : Ensemble N \subset Ensemble R. Donc 2 est un réel. L'affirmation est vraie. Ensemble N est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient 2.
\sqrt 2 + 1 ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient, c'est donc bien un irrationnel. L'affirmation est vraie.
\frac{{3\pi + 12}}{{\pi + 4}} = \frac{{3\left( {\pi + 4} \right)}}{{\pi + 4}} = 3. C'est un entier, ce n'est donc pas un irrationnel. L'affirmation est fausse.
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
L'arrondi à 5 décimales de \frac{{12}}{{57}} est 0,21053.
La valeur approchée par excès à 6 décimales (ou 10^{ - 6} près) de \frac{{12}}{{57}} est 0,210528.
La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou 10^{ - 3} près) de \frac{{12}}{{57}} est 0,21.
Avec la calculatrice, on obtient : \frac{{12}}{{57}} \approx 0,2105263158.
• L'arrondi à 5 décimales de \frac{{12}}{{57}} est bien 0,21053. En effet, on considère la troncature du nombre à 5 décimales : 0,21052 ; comme la décimale suivante est 6, on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc vraie.
• La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou 10^{ - 3} près) de \frac{{12}}{{57}} est bien 0,210 soit 0,21. En effet, le réel étant positif, la valeur approchée par défaut à 3 décimales est la troncature du nombre à 3 décimales. L'affirmation est donc vraie.
• La valeur approchée par excès à 6 décimales (ou 10^{ - 6} près) de \frac{{12}}{{57}} est 0,210527 et non pas 0,210528. En effet, le réel étant positif, on considère la troncature du nombre à 6 décimales : 0,210526 et on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc fausse.
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou 10^{ - 3} près) de - \frac{{13}}{{15}} est -0,867.
L'arrondi à 3 décimales de - \frac{{13}}{{15}} est -0,867.
La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou 10^{ - 3} près) de - \frac{{13}}{{15}} est -0,866.
Avec la calculatrice, on obtient : \frac{{12}}{{57}} \approx - 0,8666666667.
• L'arrondi à 3 décimales de - \frac{{13}}{{15}} est bien -0,867. L'affirmation est vraie.
• Ce réel est négatif, pour avoir la valeur approchée à 3 décimales (ou 10^{ - 3} près) par défaut, on prend la troncature à 3 décimales (ici : -0,866) et on ajoute 1 à la dernière décimale ; ce qui nous donne ici : -0,867.
Soit les intervalles I = \left[ {\sqrt 3 \,;\;7} \right[ et J = \left] {1\,;\;3\sqrt 2 } \right]. Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
I \cup J = \left] {1\,;\;7} \right[
I \cap J = \left[ {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right]
I \cap J = \left] {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right[
Le plus simple est de faire un petit schéma :
R et ses sous-ensembles, intervalles sur R - illustration 2
On voit ainsi que : I \cup J = \left] {1\,;\;7} \right[ et I \cap J = \left[ {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right].
Cochez la bonne réponse.
Soient a et b deux réels non nuls, on considère les deux nombres : A = \left( {a + b} \right)^2 et B = a^2 + b^2.
Alors :
Cochez la bonne réponse.
A est toujours plus petit que B.
Quand a et b sont de même signe, A est plus grand que B.
A est toujours plus grand que B.
Pour comparer A et B, cherchons le signe de A - B.
A - B = \left( {a + b} \right)^2 - \left( {a^2 + b^2 } \right) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab.
Si a et b sont de même signe, alors 2ab > 0 et A > B.
Si a et b sont de signes contraires, alors 2ab < 0 et A < B.