Premières fonctions de référence

Les fonctions linéaires, qui traduisent la proportionnalité des grandeurs, et les fonctions affines, qui traduisent la proportionnalité des accroissements de ces grandeurs, sont connues depuis le collège. On découvre ici la fonction carré et la fonction inverse.
Deux nombres sont-ils toujours dans le même ordre que leurs carrés ? Dans le même ordre que leurs inverses ? L'étude de la fonction carré et de la fonction inverse permet de connaître sur quel intervalle l'ordre est conservé et sur quel intervalle l'ordre est inversé.
En composant ces fonctions de base, on peut en construire beaucoup d'autres.
1. Quelles sont les caractéristiques de la fonction carré ?
• La fonction carré x \mapsto x^2 est définie sur Ensemble R.
Elle est décroissante sur ]- \infty\,;\; 0] et croissante sur [0\,;\; + \infty [.
D'où son tableau de variation :
Premières fonctions de référence - illustration 1
• On dresse un tableau de valeurs :
x
-3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
x^2
9
4
1
0,25
0
0,25
1
4
9

Puis on trace la parabole ci-dessous qui représente la fonction :
Premières fonctions de référence - illustration 2
Remarque
Deux nombres opposés ont la même image, donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice n°1
2. Quelles sont les caractéristiques de la fonction inverse ?
• La fonction inverse x \mapsto \frac{1}{x} n'est par définie pour x = 0 : elle est définie sur Ensemble R.
Elles est décroissante sur ]- \infty\,;\; 0[ et sur sur ]0\,;\; + \infty [.
D'où son tableau de variation :
Premières fonctions de référence - illustration 3
• On dresse un tableau de valeurs :
X
−4
−2
−1
−0,5
−0,25
0
0,25
0,5
1
2
4
\frac{1}{x}
0,25
0,5
1
2
−4
0
4
2
1
0,5
0,25

Puis on trace les deux branches de l'hyperbole qui représentent la fonction :
Premières fonctions de référence - illustration 4
Remarque
Deux nombres opposés ont des images opposées, donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Exercice n°2
3. Comment étudier le sens de variation d'une fonction résultant de l'enchaînement d'opérateurs ?
Un opérateur est une fonction qui commande une seule opération :
Par exemple :
– ajouter 2 : x \: \stackrel{+2}{\longrightarrow} \: x + 2 ;
– prendre la racine carrée : x \: \stackrel{racine}{\longrightarrow} \: \sqrt x ;
– prendre l'opposé : x \: \stackrel{oppos\acute{e}}{\longrightarrow} \: -x.
Lorsque l'on connaît l'enchaînement des opérateurs, on peut facilement déterminer le sens de variation de la fonction obtenue.
Exemple
Si l'on applique successivement les opérateurs « ajouter 2 », « élever au carré », « prendre l'opposé », on obtient la fonction x \mapsto - \left( {x + 2} \right)^2. On traduit cette décomposition par le schéma :
x \: \stackrel{+2}{\longrightarrow} \: x + 2 \: \stackrel{ carr\acute{e} }{\longrightarrow} \: (x + 2)^2 \: \stackrel{oppos\acute{e}}{\longrightarrow} \: -(x + 2)^2.
Soit deux nombres a et b quelconques de l'intervalle [0 ; 5], tels que a < b, on peut écrire : 0 < a < b < 5.
On ajoute 2 à chaque membre : 2 < a +  2 < b + 2 < 7.
On élève au carré des nombres positifs, l'ordre est inchangé : 4 < (a + 2)^2 < (b + 2)^2 < 49.
On prend les opposés, l'ordre est inversé : -4 > -(a + 2)^2 > -(b + 2)^2 > -49.
L'ordre des images de a et b par la fonction x \mapsto - \left( {x + 2} \right)^2 est inversé, la fonction est donc décroissante.
Exercice n°3
4. Comment comparer un nombre positif, son carré, son cube, son inverse et sa racine carrée ?
On utilise la représentation graphique sur [0\,;\; + \infty [ des cinq fonctions : x \mapsto x ; x \mapsto x^2 ; x \mapsto x^3 ; x \mapsto \sqrt x et x \mapsto \frac{1}{x}. On obtient le dessin suivant :
Premières fonctions de référence - illustration 5
Sur ce graphique on peut vérifier les encadrements suivants :
si 0 < x < 1, alors x^3 < x^2 < x < \sqrt x < \frac{1}{x} ;
si x > 1, alors \frac{1}{x} < \sqrt x < x < x^2 < x^3.
Exercice n°4
5. Quelles sont les caractéristiques des fonctions trigonométriques ?
• Le cercle trigonométrique d'un repère orthonormé est centré sur l'origine du repère, son rayon est égal à 1, son sens de parcourt est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Pour tout point M de ce cercle, si on appelle x la mesure de l'angle au centre formé par la demi-droite issue de l'origine et passant par M et par l'axe des abscisses, les coordonnées de M sont cos x et sin x.
Premières fonctions de référence - illustration 6
La fonction x\mapsto \cos x, définie sur Ensemble R, est représentée par une sinusoïde symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Premières fonctions de référence - illustration 7
La fonction x\mapsto \sin x, définie sur Ensemble R, est représentée par une sinusoïde symétrique par rapport à l'origine du repère.
Premières fonctions de référence - illustration 8
À retenir
• La fonction carré, qui à tout nombre réel associe son carré, est décroissante pour les valeurs négatives de la variable et croissante pour les valeurs positives. Le passage au carré inverse l'ordre si les nombres sont négatifs et conserve l'ordre si les nombres sont positifs. La fonction carré se représente par une parabole.
• La fonction inverse, qui à tout nombre réel non nul associe son inverse, est décroissante pour les valeurs négatives et les valeurs positives de la variable. Le passage à l'inverse inverse l'ordre, que ce soit pour deux nombres positifs ou pour deux nombres négatifs (non nuls). La fonction inverse se représente par deux branches d'une hyperbole.
• En décomposant une fonction en une chaîne d'opérateurs, on peut déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle donné.
• Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré et inférieur à sa racine carrée. Un nombre supérieur à 1 est supérieur à sa racine carrée et inférieur à son carré.
Cochez la bonne réponse.
(Répondre sans calcul, en utilisant le sens de variation de la fonction carré.)
Cochez la bonne réponse.
\left( { - 26,75} \right)^2 < \left( { - 25,76} \right)^2
\left( {24,35} \right)^2 > \left( {25,24} \right)^2
\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right)^2 > \left( {\frac{{ - 8}}{7}} \right)^2
\frac{4}{3} est supérieur à \frac{8}{7}, car 1+\frac{1}{3} est supérieur à 1+\frac{1}{7}. Donc \frac{{ - 4}}{3} < \frac{{ - 8}}{7}.
• La fonction carré est décroissante sur ]- \infty\,;\; 0[, le passage au carré inverse l'ordre sur cet intervalle.
On a donc : (\frac{{ - 4}}{3})^2 > (\frac{{ - 8}}{7})^2.
Cochez la bonne réponse.
(Répondre sans calcul, en utilisant le sens de variation de la fonction inverse.)
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{{0,01}} > \frac{1}{{0,1}}
\frac{1}{{ - 26,75}} < \frac{1}{{ - 25,76}}
\frac{1}{7} > \frac{1}{3}
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]0\,;\; + \infty [, donc elle inverse l'ordre. Comme 0,01 < 0,1, alors \frac{1}{{0,01}} > \frac{1}{{0,1}}.
Cochez la bonne réponse.
Quelle est la fonction correspondant à la chaîne d'opérateurs suivante :
x \stackrel{carr\acute{e}}{\longrightarrow} ~?~ \stackrel{oppos\acute{e}}{\longrightarrow} ~?~ \stackrel{+1}{\longrightarrow} ~?~ \stackrel{inverse}{\longrightarrow} ~?
Cochez la bonne réponse.
x \mapsto \frac{1}{{\left(1 - x\right)}^2 }
x \mapsto 1 + \frac{1}{{ - x^2 }}
x \mapsto \frac{1}{{1 - x^2 }}
On complète l'expression obtenue après l'application de chaque opérateur :
x \: \stackrel{carr\acute{e}}{\longrightarrow} \: x^2 \: \stackrel{oppos\acute{e}}{\longrightarrow} \: - x^2 \: \stackrel{+1}{\longrightarrow} \: -x^2 + 1 \: \stackrel{inverse}{\longrightarrow} \: \frac{1}{{1 - x^2 }}.
Cette décomposition correspond à la fonction x \mapsto \frac{1}{{1 - x^2 }}.
Cochez la bonne réponse.
(Répondre sans calcul.)
Cochez la bonne réponse.
\sqrt {0,01} < 0,01 < \left( {0,01} \right)^2
\left( {0,01} \right)^2 < 0,01 < \sqrt {0,01}
\left( {0,01} \right)^2 < \sqrt {0,01} < 0,01
0,01 est un nombre compris entre 0 et 1. Il est donc supérieur à son carré et inférieur à sa racine carrée.