Multiples, diviseurs et nombres premiers

I. Nombres entiers
Nombres entiers naturels
• Un entier naturel est un nombre entier qui est positif ou nul (égal à 0). L'ensemble des nombres entiers naturels est noté Ensemble N.
Exemples : 5 \in \mathbb{N} ; 2019\in \mathbb{N} ; -2019\notin \mathbb{N}
Nombres entiers relatifs
• Un entier relatif est un nombre entier qui est positif, négatif ou nul.
• L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté Ensemble Z.
Exemples : -2019\in \mathbb{Z} ; 2019\in \mathbb{Z} ; 0,5\notin \mathbb{Z}
II. Multiples et diviseurs
Définition : Soit a et b deux entiers. On dit que a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = k b. On dit alors que b est un diviseur de a.
Exemples :
2019 est un multiple de 3, car 2019 = k × 3 avec k = 673.
5 est un diviseur de 70, car 70 = k × 5 avec k = 14.
20 n'est pas un multiple de 3 car il n'existe pas d'entier k tel que 20 = k × 3.
Algorithme : Déterminer si a est un mutiple de b.
Multiples, diviseurs et nombres premiers - illustration 1
Remarque :
a//b donne le quotient de la division euclidienne de a par b.
Propriété :
La somme de deux multiples d'un entier b est un multiple de b.
Démonstration :
Soit x et y deux multiples de b.
Comme x est un multiple de b, il existe un entier k1 tel que x = kb
Comme y est un multiple de b, il existe un entier m2 tel que y = mb
Alors : x + y = k b + m b = (k + m)b
Or (k + m) est un entier donc x + y est un multiple de b.
Exercice n°1Exercice n°2
III. Nombres pairs et impairs
Définition :
Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.
Exemples :
2018, 2020 et 0 sont des nombres pairs.
2019, 11 et 1789 sont des nombres impairs.
Propriétés :
Un nombre pair s'écrit de manière unique sous la forme 2k, avec k entier. Un nombre impair s'écrit de manière unique sous la forme 2k + 1, avec k entier. Le carré d'un nombre impair est impair.
Démonstration :
Soit a est un nombre impair. Alors il s'écrit sous la forme a = 2k+1, avec k entier.
Alors a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1, avec m = 2k2 + 2k.
m est un entier car il est la somme de deux entiers
Ainsi a2 s'écrit sous la forme a = 2m + 1 (avec m entier) donc a2 est impair.
Exercice n°3
IV. Nombres premiers
Définition :
Un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers.
Algorithme :
Déterminer si un nombre entier est premier.
Multiples, diviseurs et nombres premiers - illustration 2
• Remarque :
Le nombre 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur : lui-même.
Propriété :
Tout nombre non premier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.
Exemple :
2019 = 673 × 3 ; 1492 = 2 × 2 × 373
Définition :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
On dit qu'une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exercice n°4Exercice n°5
Exercice n°1
Quelle est l'affirmation correcte ?
Cochez la bonne réponse.
3 est un multiple de 21.
14 est un diviseur de 7.
1789 est divisible par 3.
1515 est un multiple de 3 et de 5 mais aussi de 101.
21 est un multiple de 3. 7 est un diviseur de 14. 1789 n'est pas divisible par 3 car 1 + 7 + 8 + 9 n'est pas un multiple de 3.
1515 = 3 ( 5 ( 101 (décomposition en produit de nombres premiers).
Exercice n°2
On souhaite démontrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est un mutiple de 3.
Soit q un entier naturel, alors la somme de q et des deux entiers naturels suivants est égale à :
Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).
q + 2
3q + 3
q + (q + 1) + ((q + 1) + 1)
q + q + q
q + q + q
On voit que 3q + 3 = 3 ( k avec k = q + 1. Donc 3q + 3 est bien un multiple de 3.
Exercice n°3
On souhaite démontrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est pair. Soit q un entier naturel, on va raisonner par disjonction de cas, c'est à dire que :
Cochez la bonne réponse.
On suppose dans un premier temps que q est pair, on montre que q x (q + 1) est pair puis on suppose dans un second temps que q est impair et on montre que q x (q + 1) est pair.
On suppose que le produit est impair et on arrive à une absurdité.
On se base sur deux exemples particuliers.
On montre que le produit n'est pas un multiple de 3.
La réponse 3 est fausse car des exemples ne prouvent pas une généralité. La réponse 4 est fausse cat le contraire de « être pair » n'est pas être multiple de 3.
Exercice n°4
1789 est-il un nombre premier ?
Cochez la bonne réponse.
oui
non
1789 admet deux diviseurs : 1 et 1789. On peut par exemple utiliser l'algorithme du cours pour le vérifier.
Exercice n°5
Donner la fraction 196/24 sous forme irréductible.
Cochez la bonne réponse.
49/6
172
8/24
24/8
On utilise la décomposition en produit de nombres premiers :
196 = 2 × 2 × 7 × 7
24 = 2 × 2 × 2 × 3