R et ses sous-ensembles


Fiche

« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l'œuvre de l'Homme. » Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis, d'autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers, utiles pour noter l'ensemble des solutions d'une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ?
On distingue plusieurs ensembles de nombres.
Ensemble N est l'ensemble des nombres entiers ou entiers naturels.
Ensemble N = \left\{ {0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}.
Ensemble Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Ensemble Z = \left\{ {\ldots\,;\; - 3\,;\; - 2\,;\; - 1\,;\;0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}.
Ensemble D est l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \frac{a}{{10^n }} avec a \in Ensemble Z et n \in Ensemble N ; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple : \frac{7}{{25}} = \frac{{28}}{{10^2}} = 0,28 est un décimal, mais \frac{1}{3} n'est pas un décimal.
Ensemble Q est l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \frac{a}{b} avec a \in Ensemble Z et b \in Ensemble Z* (ce sont donc des quotients d'entiers).
Par exemple : - 12 = \frac{{ - 12}}{1} et \frac{1}{3} sont des rationnels, mais \sqrt 2 n'est pas un rationnel.
Ensemble R est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons ; on peut le représenter par une droite graduée :
R et ses sous-ensembles - illustration 1
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels, c'est-à-dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ex. : \pi, \sqrt{2}.
• Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions : Ensemble N \subset Ensemble Z \subset Ensemble D \subset Ensemble Q \subset Ensemble R.
Ce qui signifie qu'un naturel est aussi un entier relatif, qu'un entier relatif est aussi un décimal, etc.
• Pour reconnaître la nature d'un nombre :
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d'un quotient irréductible \frac{a}{b}, on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul), \frac{a}{b} est un décimal ; si elle ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et \frac{a}{b} est un rationnel qui n'est pas un décimal ;
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.
Exercice n°1Exercice n°2
2. Comment utiliser les intervalles ?
• Soient a et b deux réels tels que a \le b.
L'intervalle fermé \left[ {a\,;\;b} \right] est l'ensemble des réels x tels que a \le x \le b.
L'intervalle ouvert \left] {a\,;\;b} \right[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b.
L'intervalle ouvert \left] { - \infty \,;\;a} \right[ est l'ensemble des réels x tels que x < a.
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) \left[ {a\,;\;b} \right[ est l'ensemble des réels x tels que a \le x < b.
On définit de même les intervalles \left] {a\,;\;b} \right], \left] { - \infty \,;\;a} \right], \left[ {a\,;\; + \infty } \right[, \left] {a\,;\; + \infty } \right[.
L'ensemble Ensemble R lui-même peut être noté :\left] { - \infty \,;\; + \infty } \right[.
L'intersection de deux intervalles I et J est l'intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors I \cup J est un intervalle.
Exemple
Si I = \left[ { - 1\,;\;9} \right] et J = \left] {6\,;\;12} \right[, alors : I \cap J = \left] {6\,;\;9} \right] et I \cup J = \left[ { - 1\,;\;12} \right[.
Exercice n°3
3. Qu'est-ce que la valeur absolue ?
Définition :la distance entre deux réels a et b est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée \mida − b\mid(ou encore \midb
\mida − b\mid se lit « valeur absolue de a moins b ».
Exemples
\mid2019 − 5\mid est la distance entre les réels 5 et 2019. Cette distance est égale à 2019 − 5 = 2014.
\mid−2 − 1515\mid est la distance entre les réels −2 et 1515. Cette distance est égale à 1515 − (−2) = 1517.
Interprétation graphique : sur une droite graduée d'origine O, notons A le point d'abscisse a et B le point d'abscisse b.
\midab\mid est la distance entre les points A et B, c'est-à-dire la longueur AB.
Remarque :la distance entre deux réels est un nombre positif. Conséquence :\mida\midest la distance entre le réel a et le réel 0.
Définition : pour tout réel a, \sqrt{a^{2}}=\mida\mid
Démonstration par disjonction de cas : a positif puis a négatif.
Exemple
\mid2019\mid=2019 ; \mid− 2019\mid=2019.
Propriété : soit a un réel, r est un réel strictement positif. \midx − a\midinférieur ou égal r si et seulement si x appartient à l'intervalle [a − r ; a + r].
R et ses sous-ensembles - illustration 2
Exemple
14\in[10;20] car \mid15 − 14\midinférieur ou égal 5.
Définition :Un réel x a pour valeur approchée à 10−n près le décimal a lorsque : \midx − a\mid inférieur ou égal 10−n.
Exemple
\mid8,2019 − 8,2\mid inférieur ou égal10−1, on dit que 8,2 est une valeur approchée à 0,1 près de 8,2019.
Exercice n°4Exercice n°5
4. Comment déterminer une valeur approchée ?
• Lorsque l'on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci n'est pas un nombre décimal, on doit utiliser une valeur approchée.
Par exemple, \frac{1}{3} \approx 0,3333333. Il n'y a pas égalité car les « 3 » continuent à l'infini.
• Une valeur approchée peut être définie par défaut ou par excès. On parle de valeur approchée à 10^{ - p} près, où p est un entier, quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée est inférieure à 10^{ - p}.
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel positif à n décimales :
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter 10^{ - n} à la valeur approchée par défaut) ;
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel négatif à n décimales :
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.
• Pour calculer l'arrondi d'un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à n décimales, puis :
– si la n+1-ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l'arrondi est la troncature ;
– si la n+1-ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l'arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale de la troncature.
Exercice n°6Exercice n°7
5. Comment comparer deux nombres ?
• Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que a \le b est équivalent à b - a \ge 0.
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.
• Quelques règles fondamentales à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
• Si a > 1, alors : \sqrt{a} < a < a^2 < a^3.
• Si 0 < a < 1, alors : \sqrt{a} > a > a^2 > a^3.
• Pour tous réels a, b et c, si a \le b et b \le c, alors a \le c.
6. Comment manipuler des inégalités ?
Il s'agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l'aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
• Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. Si a \le b, alors a + c \le b + c.
• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l'ordre. Si a \le b et k > 0, alors ka \le kb.
• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l'ordre. Si a \le b et k < 0, alors ka \ge kb.
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si a \le b et c \le d, alors a + c \le b + d.
• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si 0 < a \le b et 0 < c \le d, alors ac \le bd.
Exercice n°8
À retenir
Ensemble N \subset  Ensemble Z \subset Ensemble D \subset Ensemble Q \subset Ensemble R.
• L'intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l'un, à l'autre ou aux deux intervalles à la fois.
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• La valeur absolue d'un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s'écrit \left| {b - a}\right| .
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