Sujet de métropole, juin 2026

Énoncé

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 POINTS)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

La forme développée de l'expression (3x − 2)² est
a. 9x² − 4
b. 3x² − 12x + 4
c. 9x² − 12x + 4
d. 6x − 4

Question 2

Dans le repère (O,I,J) ci-contre, la droite (Δ) a pour équation
a. y = 2x + 2
b. y = − 2x + 2
c. y = −x + 2
d. y = x + 2

Question 3

Dans une classe de première, 75 % des élèves étudient le grec.
Les autres élèves étudient le latin : ils sont 9.
Le nombre d'élèves de cette classe de première est égal à
a. 24
b. 30
c. 34
d. 36

Question 4

Le prix d'un article augmente de 15 %.
Cela signifie que le prix de cet article a été multiplié par
a. $\frac{15}{100}$
b. 1,15
c. 0,85
d. 1,115

Question 5

Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\frac{150\, 000}{3\, 200}$ est
a. 5
b. 50
c. 500
d. 5 000

Question 6

Une vidéo, d'une durée de 1 minute et 40 secondes, contient 2 400 images.
Le nombre d'images par seconde est égal à
a. 60 images/seconde
b. 24 images/seconde
c. 120 images/seconde
d. 15 images/seconde

Question 7

On considère une fonction f définie sur Ensemble R

par
f(x) = 0,5(x − 3)² + 10.
On note C sa courbe représentative dans un repère.
Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe C. Lequel ?
a. A(−3 ; 10)
b. B(3 ; 10,5)
c. C(3 ; 10)
d. D(0 ; 19,5)

Question 8

On considère le nombre $A\, =\, \frac{10^{201}\times 10^{-4}}{(10^{2})^{100}}$ .
On peut affirmer que
a. A = − 0,001
b. A = 0,0001
c. A = 0,001
d. A = 1 000

DEUXIÈME PARTIE (14 POINTS)

Exercice 1

Exercice sur 5 points
Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes.

• 60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.

• Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance.

• 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance.

On chois it un client au hasard et on note les événements :
T : « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;
A : « le client a pris une assurance ».

Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'événement A.

3. Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est égale à 0,15.

4. En déduire que la probabilité $P(\bar{T}\, \cap \, A)$ est égale à 0,05.

5. Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Exercice 2

Exercice sur 5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Les trois questions sont indépendantes.

1. On considère un réel u. On considère sur Ensemble R

l'équation :
$(E)^{\circ}\, x^{2}\, +\, x\, -\, u^{2}\, =\, 0$ .
Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel u, l'équation (E) possède deux solutions réelles distinctes.

2. On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par
u_n = 2⁻ⁿ
Affirmation : La suite (u_n) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

3. On considère la fonction f définie sur Ensemble R

par f(x) = e^x − 1.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère.
On note T la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
On note A le point de coordonnées (3 ; 3).
Affirmation : le point A appartient à la tangente T.

Exercice 3

Exercice sur 4 points
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points P(4 ; 0) et K(1 ; 0).
On considère un réel x et on note M le point de coordonnées (x ; 3).

1. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.

2. Exprimer en fonction de x les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.

3. Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP}\, \cdot \, \overrightarrow{KM}$ est égal à 3x − 3.

4. Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\frac{\pi }{3}$ , alors le réel x est solution de l'équation
$(E)^{\circ}\, \sqrt{(x-1)^{2}\, +\, 9}\, =\, 2\mathit{x}\, -\, 2$ .

5. Vérifier que le réel $1\, +\, \sqrt{3}$ est solution de l'équation (E).

Corrigé

PREMIÈRE PARTIE

Question 1

On cherche la forme développée de l'expression (3x − 2)².
On présume que x est un nombre réel quelconque.

On rappelle l'identité remarquable suivante :
Pour tous réels A et B on a : (A − B)² = A² − 2 × A × B + B²

Ainsi, pour tout réel x :
(3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2²
(3x − 2)² = 3² × x² − 6x × 2 + 4
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4
Ainsi la réponse correcte est la réponse C.

Question 2

On munit le plan d'un repère (O,I,J).
On cherche une équation de la droite (Δ).
Soit A(2 ; 0) et B(0 ; 2) deux points de la droite.
Ces deux points ont une abscisse différente, donc la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. L'ordonnée à l'origine de cette droite est égale à 2 car la droite coupe l'axe des ordonnées en B(0 ; 2).

On peut maintenant calculer la pente (aussi appelée le coefficient directeur) de la droite avec la formule :
$\frac{y_{B}\, -\, y_{A}}{x_{B}\, -\, x_{A}}\, =\, \frac{2-0}{0-2}\, =\, \frac{2}{-2}\, =\, -\, 1$
L'équation réduite d'une droite (d) de pente m et d'ordonnée à l'origine p est :
(d) : y = m × x + p
Donc :
(Δ) : y = − 1 × x + 2
(Δ) : y = −x + 2
Ainsi la réponse correcte est la réponse C.

Question 3

Dans une classe de première, 75 % des élèves étudient le grec.
Les autres élèves étudient le latin : ils sont 9.
On cherche le nombre total d'élèves de cette classe de première.
On présume qu'un élève ne peut pas étudier le grec et le latin et qu'un élève étudie nécessairement le grec ou le latin.
On en déduit que la proportion d'élèves de cette classe qui étudient le latin est de :
100 % − 75 % = 25 %
On peut construire le tableau de proportionnalité suivant :

25	9
100	Total

Ainsi on a :
$Total\, =\, \frac{100\, \times \, 9}{25}\, =\, 36$
Donc la classe contient 36 élèves.
Ainsi la réponse correcte est la réponse D.

Question 4

Le prix d'un article augmente de 15 %.
On cherche par quel réel le prix de l'article a été multiplié, c'est-à-dire le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 15 %.

On rappelle que : Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de t % est égal à $1\, +\, \frac{t}{100}$ .

Ainsi le nombre recherché est égal à :
$1\, +\, \frac{15}{100}\, =\, 1\, +\, 0,15\, =\, 1,15$
Ainsi la réponse correcte est la réponse B.

Question 5

On cherche la valeur la plus proche de :
$\frac{150\, 000}{3\, 200}\, =\, \frac{1\, 500\, \times \, 100}{32\, \times \, 100}\, =\, \frac{1\, 500}{32}$
Les propositions sont les entiers :
5 ; 50 ; 500 et 5 000.
Or, 32 est « proche » de 30.
Donc :
$\frac{1\, 500}{32}\, \approx \, \frac{1\, 500}{30}$
Et :
$\frac{1\, 500}{30}\, = \, \frac{3\, \times \, 5\, \times \, 10\, \times \, 10}{3\, \times \, 10\, \times \, 1}$
On peut ainsi simplifier par 10 et par 3, soit :
$\frac{1\, 500}{30}\, = \, \frac{5\, \times \, 10}{1}\, =\, \frac{50}{1}\, =\, 50$
Ainsi la réponse correcte est la réponse B.

Question 6

Une vidéo, d'une durée de 1 minute et 40 secondes, contient 2 400 images.
On cherche le nombre d'images par seconde.
On sait que 1 minute est égale à 60 secondes. Ainsi la durée de la vidéo en secondes est :
60 + 40 = 100
Le nombre d'images par seconde dans cette vidéo est donc égal à :
$\frac{2\, 400}{100}\, =\, 24$

On a bien divisé un nombre d'images par un nombre de secondes, on obtient donc bien un résultat exprimé en nombre d'images par seconde.

Ainsi la réponse correcte est la réponse B.

Question 7

Soit la fonction f définie pour tout x de Ensemble R

par : f(x) = 0,5(x − 3)² + 10.
On note C la courbe représentative de f dans un repère.
Quatre points sont proposés et on doit déterminer celui qui appartient à C.

On rappelle que E(x_E ; y_E) $\in$ C_f si et seulement si x_E $\in$ D_f et f(x_E) = y_E, avec D l'ensemble de définition de la fonction f.

Deux points proposés ont pour abscisse 3 et l'image de 3 semble facile à calculer.
f(3) = 0,5 × (3 − 3)² + 10 = 0,5 × 0² + 10 = 0,5 × 0 + 10 = 0 + 10 = 10
Donc le point C(3 ; 10) appartient à la courbe C.
Ainsi la réponse correcte est la réponse C.

Question 8

On souhaite simplifier le réel suivant :
$A\, =\, \frac{10^{201}\, \times \, 10^{-4}}{(10^{2})^{100}}$

On rappelle que pour tout réel a non nul et pour tout entiers p et q, on a :
a^p × a^q = a^p+q
$\frac{a^{p}}{a^{q}}\, =\, a^{p-q}$
$(a^{p})^{q}\, =\, a^{p\times q}$

$A\, =\, \frac{10^{201}\, \times \, 10^{-4}}{(10^{2})^{100}}\, =\, \frac{10^{201+(-4)}}{10^{2\times 100}}\, =\, \frac{10^{197}}{10^{200}}\, =$ = 10^{197 − 200} = 10⁻³ = 0,001
Ainsi la réponse correcte est la réponse C.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle donc la probabilité qu'un client ait loué une bicyclette traditionnelle est égale à :
$P(T)\, =\, \frac{60}{100}\, =\, \frac{6}{10}\, =\, \frac{3}{5}$
Or, d'après la propriété de l'événement contraire : $P(\bar{T})\, =\, 1\, -\, P(T)$ .
Ainsi :
$P(\bar{T})\, =\, 1\, -\, \frac{3}{5}\, =\, \frac{2}{5}$
Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance, donc la probabilité qu'un client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette traditionnelle est égale à $\frac{25}{100}$ .
Ainsi :
$P_{T}(A)\, =\, \frac{25}{100}\, =\, \frac{1}{4}$
Pour calculer $P_{T}(\bar{A})$ , on utilise de nouveau la propriété de l'événement contraire :
$P_{T}(\bar{A})\, =\, 1-P_{T}(A)\, =\, 1\, -\, \frac{1}{4}\, =\, \frac{3}{4}$
On peut ainsi compléter quatre branches de l'arbre pondéré.

2. 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance, donc la probabilité qu'un client ait pris une assurance est égale à :
$P(A)\, =\, \frac{2}{100}\, =\, 0,2$

3. La probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est $P(T\cap A)$ . En effet le « et » se traduit en opération ensembliste par le symbole de l'intersection : $\cap$ .
$P(T\, \cap \, A)\, =\, P(T)\times P_{T}(A)\, =\, \frac{3}{5}\, \times \, \frac{1}{4}\, =\, \frac{3\, \times 1}{5\, \times \, 4}\, =\, \frac{3}{20}$
On souhaite obtenir le résultat sous forme décimale.
$\frac{3}{20}\, =\, \frac{3\, \times \, 5}{20\, \times \, 5}\, =\, \frac{15}{100}\, =\, 0,15$
La probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est donc bien égale à 0,15.

On sait que P(A) = 0,2 et $P(T\cap A)\, =\, 0,15$ . On cherche $P(\bar{T}\, \cap \, A)\, =\, 0,15$ , c'est-à-dire la probabilité que le client ait loué une bicyclette électrique et qu'il ait pris une assurance.
On pense alors à utiliser la loi des probabilités totales.

Les événements T et $\bar{T}$ sont contraires donc ils forment une partition de l'univers.
D'après la loi des probabilités totales, on a : $P(A)\, =\, P(T\, \cap A)+P(\bar{T}\, \cap \, A)$

Ou, par symétrie :
$P(T\, \cap \, A)\, +\, P(\bar{T}\, \cap \, A)\, =\, P(A)$
On soustrait les deux membres de l'égalité par $P(T\, \cap \, A)$ :
$P(T\, \cap \, A)\, +\, P(\bar{T}\, \cap \, A)\, -\, P(T\cap A)\, =\, P(A)\, -\, P(T\cap A)$
$P(\bar{T}\, \cap \, A)\, =\, P(A)\, -\, P(T\, \cap \, A)$
$P(\bar{T}\, \cap \, A)\, =\, 0,2\, -\, 0,15\, =\, 0,05$
La probabilité que le client ait loué une bicyclette électrique et qu'il ait pris une assurance est donc bien de 0,05.

5. On cherche la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique, c'est-à-dire $P_{\bar{T}}(A)$ . Or, par définition :
$P_{\bar{T}}(A)=\frac{P(\bar{T}\cap A)}{P(\bar{T})}$
Or :
$P(\bar{T}\, \cap \, A)\, =\, 0,05\, =\, \frac{5}{100}\, =\, \frac{5\, \times \, 1}{5\, \times \, 20}\, =\, \frac{1}{20}$
Soit :
$P_{\bar{T}}(A)\, =\, \frac{\frac{1}{20}}{\frac{2}{5}}$
Or, pour tous réels a, b, c et d non nuls :
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\, =\, \frac{a}{b}\, \times \, \frac{d}{c}$
Donc :
$P_{\bar{T}}(A)\, =\, \frac{1}{20}\, \times \, \frac{5}{2}\, =\, \frac{1\, \times \, 5}{20\, \times\, 2}\, =\, \frac{1\, \times \, 5}{5\, \times \, 4\, \times \, 2}\, =\, \frac{1}{8}$

Exercice 2

1. Soit $u\, \in \, \mathbb{R}$ .
On considère (E) l'équation d'inconnue x réelle : x² + x −u² = 0.
Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel u, l'équation (E) possède deux solutions réelles distinctes.
On reconnaît que (E) est une équation polynomiale du second degré car (E) est équivalente à a × x² + b × x + c = 0 avec a = 1, b = 1 et c = − u².
Pour déterminer le nombre de solutions de cette équation, on peut calculer le discriminant de x² + x − u² que l'on note Δ :
Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 1 × (−u²) = 1 + (−4) × (−u²)
Or (− u²) = (− 1) × u². Attention : (−u²) $\neq$ (−u)² et donc (−u²) $\neq$ u².
Ainsi :
Δ = 1 + (−4) × (−u²) = 1 + (− 4) × (−1) × u² = 1 + 4u²
On cherche à étudier le signe de Δ. En effet, en fonction du signe de Δ, on pourra déterminer le nombre de solutions de l'équation.
Or, pour tout u de Ensemble R

: u²

0.
On multiplie les deux membres de l'inégalité par 4 ; le symbole ne change pas de sens car 4 > 0 :
4 × u² supérieur ou égal

4 × 0
4u²

0
On ajoute 1 aux deux membres de l'inégalité :
4u² + 1 supérieur ou égal

0 + 1
4u² + 1 supérieur ou égal

1
Δ

1
Et 1 > 0, donc par transitivité, on a pour tout u de Ensemble R

: Δ > 0.
Donc, pour tout u de Ensemble R

, l'équation (E) admet deux solutions réelles et distinctes.
L'affirmation est donc vraie.

On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = 2⁻ⁿ.
Affirmation : La suite (u_n) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
On peut calculer les premiers termes de la suite (u_n) et conjecturer qu'elle semble géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , mais quelques exemples ne suffisent pas à prouver une affirmation générale.
u₀ = 2⁻⁰ = 2⁰ = 1
u₁ = 2⁻¹
Or, pour tout réel a non nul et pour tout entier p :
$a^{-p}\, =\, \frac{1}{a^{p}}$
$u_{1}\, =\, 2^{-1}\, =\, \frac{1}{2^{1}}\, =\, \frac{1}{2}$
$u_{1}\, =\, 2^{-2}\, =\, \frac{1}{2^{2}}\, =\, \frac{1}{4}$
On a en effet : $u_{2}\, =\, u_{1}\, \times \, \frac{1}{2}$ et $u_{1}\, =\, u_{0}\, \times \, \frac{1}{2}$ .
On souhaite donc rédiger une preuve générale.

On rappelle que pour une suite (u_n) définie sur Ensemble N

:
(u_n) est géométrique de raison q si et seulement si pour tout entier naturel n : u_n+1 = u_n × q.

Pour tout entier naturel n :
$u_{n+1}\, =\, 2^{-(n+1)}\, =\, \frac{1}{2^{n+1}}\, =\, \frac{1}{2^{n}\, \times \, 2^{1}}\, =\, \frac{1\, \times \, 1}{2^{n}\, \times \, 2}\, =\, \frac{1}{2^{n}}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, 2^{-n}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, u_{n}\, \times \, \frac{1}{2}$
Ainsi, la suite (u_n) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
L'affirmation est donc vraie.

On considère la fonction f définie pour tout x de Ensemble R

par f(x) = e^x − 1.
On note C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
On note T la tangente à C au point d'abscisse 0 et on note A(3 ; 3).
Affirmation : $A\, \in \, T$ .
Déterminons dans un premier temps l'équation réduite de T.

On rappelle que :
Si une fonction f est dérivable en a, alors la courbe C_f admet au point d'abscisse a une tangente dont l'équation réduite est :
y = f' (a) × (x − a) + f(a)

La fonction f de l'exercice est dérivable en 0. On a besoin de la valeur du nombre dérivé de f en 0. La manière la plus rapide est de déterminer l'expression de f'(x) en fonction de x puisque la fonction f est dérivable sur Ensemble R

en tant que différence entre la fonction exponentielle et une fonction constante.
Or, la fonction dérivée de la fonction exponentielle est par définition la fonction exponentielle.
Et la fonction dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
Donc, pour tout x de Ensemble R

, f'(x) = e^x − 0 = e^x.
Ainsi la tangente T a pour équation réduite :
T : y = f'(0) × (x − 0) + f(0)
T : y = e⁰ × x + (e⁰ − 1)
Or, par définition : e⁰ = 1, donc :
T : y = 1 × x + (1 − 1)
T : y = = 1 × x + 0
T : y = x
On veut maintenant déterminer si le point A(3 ; 3) appartient à la tangente T.

On rappelle qu'un point appartient à une droite si et seulement si les coordonnées du point vérifient une équation de cette droite.

Or, on a bien ici : y_A = x_A.
Donc les coordonnées du point A vérifient l'équation y = x.
Ainsi l'affirmation est vraie, $A\, \in \, T$ .

Exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points P(4 ; 0) et K(1 ; 0).
Soit x un réel quelconque ; on note M(x ; 3).

Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$
$\overrightarrow{KP}\binom{x_{p}\, -\,x_{K} }{y_{P}\, -\, y_{K}}$ ; $\overrightarrow{KP}\binom{4\, -\, 1}{0\, -\, 0}$ ; $\overrightarrow{KP}\binom{3}{0}$

Cela se lit également : pour aller de K à P on effectue un déplacement parallèle à l'axe des abscisses de 3 unités « vers la droite » et un déplacement parallèle à l'axe des ordonnées de 0 unité « vers le haut ».

La norme de $\overrightarrow{KP}$ est le réel positif noté $\left\| \overrightarrow{KP}\right\|$ et on a :
$\left\| \overrightarrow{KP}\right\| \, =\, \sqrt{x_{\overrightarrow{KP}}^{}2+y_{\overrightarrow{KP}}^{}2}\, = \, \sqrt{3^{2}\, +\, 0)^{2}}\, =\, \sqrt{9+0}\, =\, \sqrt{9}\, =\, 3$

On peut aussi le lire sur le repère car $\left\| \overrightarrow{KP}\right\| \, =\, KP$ et on lit que la longueur KP est égale à 3 unités.

2. Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ :
$\overrightarrow{KM}\binom{x_{M}\, -\,x_{K} }{y_{M}\, -\, y_{K}}$ ; $\overrightarrow{KM}\binom{x\, -\,1 }{3\, -\, 0}$ ; $\overrightarrow{KM}\binom{x\, -\,1 }{3}$
Exprimons la norme de $\overrightarrow{KM}$ en fonction de x :
$\left\| \overrightarrow{KM}\right\| \, =\, \sqrt{x_{\overrightarrow{KM}}^{}2+y_{\overrightarrow{KM}}^{}2}\, = \, \sqrt{(x-1)^{2}+3^{2}}\, =\, \sqrt{(x-1)^{2}+9}$

3. Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{KM}$ .
On peut utiliser la formule analytique :
$\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{KM}\, =\, x_{\overrightarrow{KP}}\, \times \, x_{\overrightarrow{KM}}\, +\, y_{\overrightarrow{KP}}\, \times \, y_{\overrightarrow{KM}}$
$\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{KM}\, =\, 3\times (x\, -\, 1)\, +\, 0\, \times \, 3\, =\, 3(x\, -\, 1)\, =\, 3\, \times \, x\, -\, 3\, \times \, 1\, =\, 3x\, -\, 3$

L'angle $\widehat{PKM}$ est l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{KP}$ et $\overrightarrow{KM}$ .

On rappelle que : $\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{KM}\, =\, \left\| \overrightarrow{KP}\right\| \, \times \, \left\| \overrightarrow{KM}\right\| \, \times \, cos\widehat{(PKM})$

Ainsi, en remplaçant par nos valeurs et si $\widehat{PKM}\, =\, \frac{\pi }{3}$ alors on a :
$3x\, -\, 3\, =\, 3\, \times \, \sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, \times \, cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )$
On a $cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{1}{2}$ et on peut factoriser le membre de gauche par 3.
Par symétrie on a donc :
$3\, \times \, \sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, 3(x\, -\, 1)$
On divise les deux membres de l'égalité par 3.
$\sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, (x\, -\, 1)$
On multiplie les deux membres de l'égalité par 2.
$2\, \times \, \sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, 2\, \times \, (x\, -\, 1)$
$\sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, = \, 2x\, -\, 2$
Cette équation est notée (E).

Calculons $\sqrt{(x\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}$ avec $x\, =\, 1\, +\, \sqrt{3}$ :
$\sqrt{(1\, +\, \sqrt{3}\, -\, 1)^{2}\, +\, 9}\, =\, \sqrt{(\sqrt{3})^{2}\, +\, 9}\, =\, \sqrt{3\, +\, 9}\, =\, \sqrt{12}\, =\, \sqrt{4\, \times \, 3}\, =\, \sqrt{4}\, \times \, \sqrt{3}\, =\, 2\sqrt{3}$
Calculons 2x − 2 avec $x\, =\, 1\, +\, \sqrt{3}$ :
$2(1\, +\, \sqrt{3})\, -\, 2\, =\, 2\, \times \, 1\, +\, 2\, \times \, \sqrt{3}\, -\, 2\, =\, 2\sqrt{3}$
Ainsi le réel $1\, +\, \sqrt{3}$ est bien une solution de l'équation (E).

Remarque : en élevant au carré les deux membres de l'égalité, on obtient une équation polynomiale du second degré et on peut par exemple utiliser la méthode du discriminant pour résoudre (E).

Voir le corrigé

Corrigé

PREMIÈRE PARTIE

Question 1

On cherche la forme développée de l'expression (3x − 2)².
On présume que x est un nombre réel quelconque.

On rappelle l'identité remarquable suivante :
Pour tous réels A et B on a : (A − B)² = A² − 2 × A × B + B²

Ainsi, pour tout réel x :
(3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2²
(3x − 2)² = 3² × x² − 6x × 2 + 4
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4
Ainsi la réponse correcte est la réponse C.

Question 2

Question 3

25	9
100	Total

Ainsi on a :
$Total\, =\, \frac{100\, \times \, 9}{25}\, =\, 36$
Donc la classe contient 36 élèves.
Ainsi la réponse correcte est la réponse D.

Question 4

Le prix d'un article augmente de 15 %.
On cherche par quel réel le prix de l'article a été multiplié, c'est-à-dire le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 15 %.

On rappelle que : Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de t % est égal à $1\, +\, \frac{t}{100}$ .

Ainsi le nombre recherché est égal à :
$1\, +\, \frac{15}{100}\, =\, 1\, +\, 0,15\, =\, 1,15$
Ainsi la réponse correcte est la réponse B.

Question 5

Question 6

On a bien divisé un nombre d'images par un nombre de secondes, on obtient donc bien un résultat exprimé en nombre d'images par seconde.

Ainsi la réponse correcte est la réponse B.

Question 7

Soit la fonction f définie pour tout x de Ensemble R

par : f(x) = 0,5(x − 3)² + 10.
On note C la courbe représentative de f dans un repère.
Quatre points sont proposés et on doit déterminer celui qui appartient à C.

On rappelle que E(x_E ; y_E) $\in$ C_f si et seulement si x_E $\in$ D_f et f(x_E) = y_E, avec D l'ensemble de définition de la fonction f.

Question 8

On souhaite simplifier le réel suivant :
$A\, =\, \frac{10^{201}\, \times \, 10^{-4}}{(10^{2})^{100}}$

On rappelle que pour tout réel a non nul et pour tout entiers p et q, on a :
a^p × a^q = a^p+q
$\frac{a^{p}}{a^{q}}\, =\, a^{p-q}$
$(a^{p})^{q}\, =\, a^{p\times q}$

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

2. 20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance, donc la probabilité qu'un client ait pris une assurance est égale à :
$P(A)\, =\, \frac{2}{100}\, =\, 0,2$

Les événements T et $\bar{T}$ sont contraires donc ils forment une partition de l'univers.
D'après la loi des probabilités totales, on a : $P(A)\, =\, P(T\, \cap A)+P(\bar{T}\, \cap \, A)$

Exercice 2

: u²

0.
On multiplie les deux membres de l'inégalité par 4 ; le symbole ne change pas de sens car 4 > 0 :
4 × u² supérieur ou égal

4 × 0
4u²

0
On ajoute 1 aux deux membres de l'inégalité :
4u² + 1 supérieur ou égal

0 + 1
4u² + 1 supérieur ou égal

1
Δ

1
Et 1 > 0, donc par transitivité, on a pour tout u de Ensemble R

: Δ > 0.
Donc, pour tout u de Ensemble R

, l'équation (E) admet deux solutions réelles et distinctes.
L'affirmation est donc vraie.

On rappelle que pour une suite (u_n) définie sur Ensemble N

:
(u_n) est géométrique de raison q si et seulement si pour tout entier naturel n : u_n+1 = u_n × q.

On considère la fonction f définie pour tout x de Ensemble R

On rappelle que :
Si une fonction f est dérivable en a, alors la courbe C_f admet au point d'abscisse a une tangente dont l'équation réduite est :
y = f' (a) × (x − a) + f(a)

On rappelle qu'un point appartient à une droite si et seulement si les coordonnées du point vérifient une équation de cette droite.

Or, on a bien ici : y_A = x_A.
Donc les coordonnées du point A vérifient l'équation y = x.
Ainsi l'affirmation est vraie, $A\, \in \, T$ .

Exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points P(4 ; 0) et K(1 ; 0).
Soit x un réel quelconque ; on note M(x ; 3).

On peut aussi le lire sur le repère car $\left\| \overrightarrow{KP}\right\| \, =\, KP$ et on lit que la longueur KP est égale à 3 unités.

L'angle $\widehat{PKM}$ est l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{KP}$ et $\overrightarrow{KM}$ .

On rappelle que : $\overrightarrow{KP}.\overrightarrow{KM}\, =\, \left\| \overrightarrow{KP}\right\| \, \times \, \left\| \overrightarrow{KM}\right\| \, \times \, cos\widehat{(PKM})$

Remarque : en élevant au carré les deux membres de l'égalité, on obtient une équation polynomiale du second degré et on peut par exemple utiliser la méthode du discriminant pour résoudre (E).