Variables aléatoires réelles (1)

L'essentiel du cours
Soit Ω un ensemble fini de résultats (Ω = {e1 ; e2 ; e3 ; … ; ek}) et P une probabilité définie sur l'ensemble Ω.
Définition 1
On appelle variable aléatoire réelle toute fonction X définie sur Ω et qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
Définir une variable aléatoire consiste donc à associer un réel à chaque issue de l'expérience.
L'ensemble X (Ω) est appelé ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
Remarque : L'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X est fini dès que l'ensemble Ω est fini.
Notations :
Soit a un réel quelconque. On note {X = a} l'ensemble des résultats de l'univers Ω correspondant à l'événement « X prend la valeur a ». On note alors P(X = a) la probabilité de cet événement.
De même, on note {X inférieur ou égal a} l'ensemble des résultats de l'univers Ω correspondant à l'événement « X inférieur à la valeur a ».
Exemple
On étudie l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces équilibré.
On a alors Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
On considère le jeu suivant :
• Si la face visible du dé est 1, 2 ou 3, on gagne 1 €.
• Si la face visible du dé est 4, on gagne 3 €.
• Si la face visible du dé est 5 ou 6, on perd 2 €.
On peut donc créer le tableau correspondant à l'expérience aléatoire :
Issue
 1
 2
 3
 4
 5
 6
Gain X
 1
 1
 1
 3
 −2
 −2

X est la variable aléatoire associée au gain pour une partie de ce jeu.
Définition 2
Soit X une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs x1, x2, x3, …, xn.
La probabilité de l'événement X = xi, notée P(X = xi) est la probabilité de l'événement constitué de toutes les issues auxquelles on associe le nombre xi.
Définition 3
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, c'est donner toutes les probabilités pi = P(X = xi).
Remarques :
  • Le plus souvent, on présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
  • La somme des probabilités de toutes les valeurs prises par la variable aléatoire est égale à 1.
On a donc p1 + p2 + … + pn = 1.
Méthodes de résolution
Soit k un nombre réel.
Méthode 1
Pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, il faut suivre les étapes suivantes :
  • Déterminer les différentes valeurs prises par la variable aléatoire et les probabilités associées à chaque valeur. Pour cela, on peut s'appuyer sur un arbre ou un tableau de probabilités.
  • Bien lister les valeurs avant de construire le tableau de la loi de probabilité pour ne pas oublier de valeurs.
  • Calculer les différentes probabilités P(X = k) pour chaque valeur k obtenue précédemment.
Exemple
On étudie l'expérience aléatoire consistant à tirer une boule dans une urne contenant 6 boules indiscernables au toucher : trois rouges avec les numéros 0, 3 et 5 (R0, R3, R5) et trois vertes avec les numéros 1, 2 et 3 (V1, V2, V3).
Un joueur mise 2 € pour tirer une boule au hasard. S'il pioche une boule rouge, il gagne la valeur en euros du nombre indiqué sur la boule. S'il pioche une boule verte, il gagne 3 €.
On a : Ω = {R0 ; R3 ; R5 ; V1 ; V2 ; V3}.
La variable aléatoire X associe à chaque boule choisie le gain en euros en déduisant la mise initiale.
  • Si on pioche R0, on perd donc les 2 € misés, soit un gain final de −2 €.
  • Si on pioche V1, V2, V3 ou R3, on gagne 3 € et on déduit les 2 € misés, donc cela représente un gain final de 1 €.
  • Si on pioche R5, on gagne 5 € et on déduit les 2 € misés, cela représente un gain final de 3 €.
On peut donc créer le tableau correspondant à la loi de probabilité de X :
Gain xi
 −2
 1
 3
P(X= xi)
 \frac{1}{6}
 \frac{4}{6}
 \frac{1}{6}

Méthode 2
Pour utiliser les différentes notations des probabilités avec les variables aléatoires, il faut :
  • comprendre le lien entre les phrases de l'énoncé, les différentes valeurs prises par la variable aléatoire, et les symboles mathématiques de comparaison (=, <, >, inférieur ou égal et supérieur ou égal) ;
  • additionner les probabilités qui permettent d'obtenir des valeurs exactes pour en déduire celles où on doit obtenir « plus que k » ou « moins que k » ;
  • savoir que pour les variables réelles, on a par exemple : p(X inférieur ou égal 3) qui est égale à p(X < 4).
Exemple
On lance une pièce équilibrée cinq fois de suite, et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de fois qu'on a obtenu Face sur les cinq lancers.
Si on sait que p(X = 0) = 0,03125 et p(X = 1) = 0,15625, on peut en déduire que p(X inférieur ou égal 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0,1875.
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