Géométrie repérée (1)

L'essentiel du cours

Rappels

Dans le plan P muni d'un repère orthonormé $(\mathit{O}\, ;\, \vec{\mathit{i}},\, \vec{\mathit{j}})$ , soit $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{v}}$ deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y) et (x', y'). Le produit scalaire des vecteurs $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{v}}$ est : $\vec{\mathit{u}}\, \cdot \, \vec{\mathit{v}}\, =\, \mathit{x}\times {\mathit{x}}'\, +\, \mathit{y}\times {y}'$ .
Soit $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{v}}$ deux vecteurs et A, B et C trois points tels que $\vec{\mathit{u}}\, =\, \overrightarrow{\mathit{AB}}$ et $\vec{\mathit{v}}\, =\, \overrightarrow{\mathit{AC}}$ . Le produit scalaire des vecteurs $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{v}}$ est : $\vec{\mathit{u}}\cdot \vec{\mathit{v}}\, =\, \overrightarrow{\mathit{AB}}\, \cdot \, \overrightarrow{\mathit{AC}}\, =\, \mathit{AB}\, \times\, AC\, \times \, \mathrm{cos}(\widehat{\mathit{BAC}})$ .
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(\mathit{O}\, ;\, \vec{\mathit{i}},\, \vec{\mathit{j}})$ , soit $\vec{\mathit{u}}(\mathit{x},\, \mathit{y})$ et $\vec{\mathit{v}}(\mathit{{x}'},\, \mathit{{y}'})$ deux vecteurs.
Les vecteurs $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{v}}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire si et seulement si x × x' + y ×u' = 0.
Si une droite (d) a pour équation cartésienne : ax + by + c = 0, alors son coefficient directeur a pour coordonnées : $\vec{\mathit{u}}\binom{\, \mathit{-\, b}}{\mathit{a}}$ .

Définition 1

On dit qu'un vecteur non nul $\vec{\mathit{n}}$ est un vecteur normal à une droite (d) s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.
Remarque : Si $\vec{\mathit{u}}$ est un vecteur directeur à la droite (d), dans ce cas, $\vec{\mathit{u}}$ et $\vec{\mathit{n}}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire qu'on a : $\vec{\mathit{u}}\, \cdot \, \vec{\mathit{n}}\, =\, 0$ .

Propriété 1

Le vecteur $\vec{\mathit{n}}\binom{\mathit{a}}{\mathit{b}}$ est un vecteur normal à une droite (d) qui a pour équation cartésienne : ax + by + c = 0.

Exemple

La droite d'équation cartésienne 3x −6y + 5 = 0 admet pour vecteur normal $\vec{\mathit{n}}\binom{ 3}{-\, 6}$ et pour vecteur directeur $\vec{\mathit{u}}\binom{ 6}{3}$ et donc si on calcule $\vec{\mathit{u}}\cdot \vec{\mathit{n}}\, =\, \mathit{x}\, \times \, {\mathit{x}}'+\mathit{y}\, \times \, {\mathit{y}}'\, =\, 6\, \times \, 3\, +\, 3\, \times \, (-6)\, =\, 0$ .

Propriété 2 (réciproquement)

La droite dont le vecteur normal est le vecteur $\vec{\mathit{n}}\binom{ \mathit{a}}{\mathit{b}}$ et qui passe par le point M(x_M ; y_M) a donc une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Dans ce cas, la valeur du réel c dépend des coordonnées du point M.
Remarque : Pour trouver une équation cartésienne de droite, on peut toujours utiliser le produit scalaire avec le vecteur directeur.

Méthodes de résolution

Méthode 1

Pour déterminer une équation cartésienne de droite à l'aide d'un vecteur normal et d'un point, il faut :

utiliser le vecteur normal pour commencer à obtenir l'équation cartésienne de la droite ;
utiliser ensuite les coordonnées du point dans l'équation commencée, pour remplacer les inconnues x et y et ainsi obtenir la valeur du réel c ;
conclure en donnant l'équation cartésienne de la droite.

Exemple

Donner l'équation cartésienne de la droite de vecteur normal $\vec{\mathit{n}}\binom{ -\,3 }{2}$ et passant par le point A(4 ; 7).
D'après le vecteur $\vec{\mathit{n}}$ , l'équation cartésienne de la droite est de la forme : − 3x + 2y + c = 0.
On utilise le point A, cela donne : − 3 × 4 + 2 × 7 + c = 0 soit − 12 + 14 + c = 0 et donc c = − 2.
Ainsi, l'équation de la droite est : − 3x + 2y − 2 = 0.

Méthode 2

Pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite, il faut :

trouver le vecteur normal à la droite (d) étudiée ;
à partir du vecteur normal de la droite (d) et des coordonnées du point que l'on souhaite projeter, trouver l'équation cartésienne de la droite perpendiculaire à la droite (d) qui aura comme vecteur directeur le vecteur trouvé ;
déterminer enfin les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite (d) en cherchant le point d'intersection de la droite (d) et de la perpendiculaire obtenue.

Exemple

Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A(− 1 ; 2) sur la droite (d) d'équation cartésienne 4x − 5y − 1 = 0.
Le vecteur normal à la droite (d) est $\vec{\mathit{n}}\binom{4 }{-\, 5}$ et c'est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A. Son équation cartésienne est donc de la forme : − 5x − 4y + c = 0.
En utilisant les coordonnées du point A, on obtient : − 5 × (− 1) − 4 × 2 + c = 0 soit c = 3.
Donc la droite perpendiculaire à (d) passant par A admet comme équation cartésienne : − 5x − 4y + 3 = 0.
On résout ensuite le système : $\left\{\begin{matrix}4\mathit{x}-5\mathit{y}\, -\, 1\, =\, 0 \\-\, 5\mathit{x}\, -\, 4\mathit{y}\, +\, 3\, =\, 0\end{matrix}\right.$ soit $\left\{\begin{matrix}4\mathit{x}-5\mathit{y}\, -\, 1\, =\, 0 \\-\, \mathit{x}\, -\, 9\mathit{y}\, +\, 2\, =\, 0\end{matrix}\right.$ et ainsi $\left\{\begin{matrix}4\mathit{x}-5\mathit{y}\, -\, 1\, =\, 0 \\ \mathit{x}\,=\, -\, 9\mathit{y}\, +\, 2\end{matrix}\right.$ .
On résout donc 4(−9y + 2) −5y − 1 = 0, soit − 41y + 7 = 0 et donc $\mathit{y}\, =\, \frac{7}{41}$ .
On obtient ensuite : $\mathit{x}\, =\, -\, 9\mathit{y}\, +\, 2\, =\, -\, 9\, \, \times \, \frac{7}{41}\, +\, 2\, =\, -\frac{63}{41}\, +\, \frac{82}{41}\, =\, \frac{19}{41}$ .
Le point H a donc comme coordonnées $\left ( \frac{19}{41}\, ;\frac{7}{41} \right )$ .

Méthode 3

Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite particulière dans un triangle, il faut :

connaître les propriétés particulières de cette droite (perpendiculaire, milieu, etc.) ;
utiliser les vecteurs normaux et colinéaires pour en déduire l'équation de la droite cherchée.