Équations de droites (1)

Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points donnés dans un repère, déterminer une équation de la droite(AB) consiste à chercher une condition qui soit nécessaire et suffisante pour qu'un point M(x ; y) soit aligné avec A et B : cette condition est la colinéarité des vecteurs et .
Le vecteur a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A), le vecteur a pour coordonnées (x − x_A ; y − y_A), la condition de colinéarité s'écrit alors : (x − x_A) (y_B −y_A) = (y − y_A) (x_B − x_A).
On distingue deux cas :

• si les points A et B ont la même abscisse k, soit x_B − x_A = 0, l'équation réduite de la droite (AB) est alors x = k, cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ;
• si x_B − x_A ≠ 0, on peut calculer le coefficient directeur de la droite (AB) et l'ordonnée à l'origine p = y_A − x_A. L'équation de la droite (AB) est alors : y = mx + p.

Réciproquement, dans un repère du plan, l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que y = mx + p est une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Exemple

Soit les deux points A(4 ; 2) et B(−1 ; 3) et M un point quelconque de coordonnées (x ; y).
On calcule les coordonnées des vecteurs et , on obtient et .
On écrit alors que M est aligné avec A et B si et seulement si det (, ce qui se traduit par l'équation (x − 4) × 1 = (y − 2) × (−5), qui est l'équation de la droite (AB).
Après transformation de l'égalité, on obtient l'équation : .

Comment utiliser une équation de droite ?

Pour dire si un point est sur une droite : on remplace les inconnues de l'équation de la droite par les coordonnées du point et on vérifie si l'égalité ainsi obtenue est vraie.
Par exemple, le point E de coordonnées (2 ; –1) est-il sur la droite d'équation y = −2x + 3 ?
Pour répondre, on remplace x par 2 dans la formule −2x + 3 ; si l'on trouve −1 lepoint est sur la droite, sinon il ne l'est pas.
Ici −2 × 2 + 3 = −1 donc le point E est bien sur la droite.
Pour construire une droite, connaissant son équation, on distingue deux cas :

• si l'équation est de la forme x = k, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées ; on place le point de coordonnées (k ; 0) et on trace la droite ;
• si l'équation est de la forme y = mx + p, on choisit deux valeurs distinctes x₁ et x₂ de x et on trace la droite qui passe par les points de coordonnées (x₁ ; mx₁ + p) et (x₂ ; mx₂ + p). On peut en particulier choisir x = 0 et , la droite passe donc par les points (0 ; p) et .