Produit scalaire

L'essentiel du cours

Propriété 1

Dans le plan P muni d'un repère orthonormé $(\mathit{O}\, ;\, \vec{i},\, \vec{j})$ , la norme du vecteur $\vec{u}$ de coordonnées (x, y) est : $\left\| \vec{u}\right\| \, =\, \sqrt{\mathit{x}^{2}\, +\, \mathit{y}^{2}}$ .

Notation

On appelle produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}$ .

Propriété 2 – Produit scalaire avec les coordonnées

Dans le plan P muni d'un repère orthonormé $(\mathit{O}\, ;\, \vec{i},\, \vec{j})$ , soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y) et (x', y'). Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est : $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \mathit{x}\, \times {\mathit{x}}'\, +\, \mathit{y}\, \times {\mathit{y}}'$ .

Propriété 3 – Produit scalaire avec un angle

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et A, B et C trois points tels que $\vec{u}\, =\, \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}\, =\, \overrightarrow{AC}$ . Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est : $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \overrightarrow{AB}\, \cdot \, \overrightarrow{AC}\, =\, \mathit{AB}\, \times \, \mathit{AC}\, \times \, \mathrm{cos}(\widehat{\mathit{BAC}})$ .

Propriété 4 – Produit scalaire avec un projeté orthogonal

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et A, B et C trois points tels que $\vec{u}\, =\, \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}\, =\, \overrightarrow{AC}$ . Soit H le projeté orthogonal du point C sur (AB). Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est : $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \overrightarrow{AB}\, \cdot \, \overrightarrow{AC}\, =\,\mathit{AB}\, \times \, \mathit{AH}$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens ; $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \overrightarrow{AB}\, \cdot \, \overrightarrow{AC}\, =\, -\, \mathit{AB}\, \times \, \mathit{AH}$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens opposés.

Propriétés 5 – Produit scalaire avec les normes – Identité de polarisation

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :

$\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \frac{1}{2}(\left\| \vec{u}\right\| ^{2}\, +\, \left\| \vec{v}\right\| ^{2}\, -\, \left\| \vec{u}\, -\, \vec{v}\right\| ^{2})$ .
$\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \frac{1}{2}(\left\| \vec{u}\, +\, \vec{v}\right\| ^{2}\, -\, \left\| \vec{u}\right\| ^{2}\, -\, \left\| \vec{v}\right\| ^{2})$ .

Propriétés 6 – Autres propriétés du produit scalaire

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ possède comme propriétés :

symétrie : $\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, =\, \vec{v}\, \cdot \, \vec{u}$ ;
bilinéarité : $\vec{u}\, \cdot \, (\vec{v}\, +\, \vec{\mathit{w}})\,=\,\vec{u} \, \cdot \, \vec{v}\, +\vec{u}\, \cdot \, \vec{\mathit{w}}$ et pour tout ${\lambda} \, \in \, \mathbb{R}$ , on a $\left\| \mathit{\lambda} \vec{u}\right\| \, =\, \left | \mathit{\lambda} \right | \, \times \, \left\| \vec{u}\right\|$ ;
identités remarquables :

• $\left\| \vec{u}\, +\, \vec{v}\right\| ^{2}\, =\, \left\| \vec{u}\right\| ^{2}\, +\, 2\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, +\, \left\| \vec{v}\right\| ^{2}$

• $\left\| \vec{u}\, -\, \vec{v}\right\| ^{2}\, =\, \left\| \vec{u}\right\| ^{2}\, -\, 2\vec{u}\, \cdot \, \vec{v}\, +\, \left\| \vec{v}\right\| ^{2}$

• $(\vec{u}\, +\, \vec{v})\, \cdot \, (\vec{u}\, -\, \vec{v})\, =\, \left\| \vec{u}\right\| ^{2}\, -\, \left\| \vec{v}\right\| ^{2}$

Définition

On dit que deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux lorsque les directions des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont perpendiculaires.

Conséquence

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(\mathit{O}\, ;\, \vec{i},\, \vec{j})$ , soit $\vec{u}(\mathit{x},\, \mathit{y})$ et $\vec{v}(\mathit{{x}'},\, \mathit{{y}'})$ deux vecteurs.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire si et seulement si x × x' + y × y' = 0.

Représentations et méthodes

Méthode 1

Pour calculer un produit scalaire, il faut :

connaître les quatre formules permettant de calculer le produit scalaire ;
choisir la bonne formule en fonction des données de la figure ;
appliquer la formule choisie.

Méthode 2

Pour étudier l'orthogonalité dans un repère orthonormé, il faut :

calculer les coordonnées des vecteurs utiles ;
calculer les produits scalaires utiles pour la résolution du problème posé.