Fonction exponentielle (2)

L'essentiel du cours

Propriété 1

Pour tout $x\, \in \, \mathbb{R}$ , on a d'après la définition de la fonction exponentielle : (e^x)' = e^x.

Exemples

Déterminer les expressions des dérivées des fonctions suivantes :
→ f(x) = 3x² + 4x + 5e^x.
On calcule : f'(x) = 6x + 4 + 5e^x.
→ $\mathit{g}(\mathit{x})\, =\, \frac{\mathit{x}^{2}}{e^{\mathit{x}}\, +\, 6}$ .
On a : u(x) = x², soit u'(x) = 2x et v(x) = e^x + 6 soit v'(x) = e^x.
Ainsi, on obtient : ${g}'(x)\, =\, \frac{{u}'v\, -\, {v}'u}{v^{2}}\, =\, \frac{2x\, \times \, (e^{x}\, +\, 6)\, -\, e^{x}\, \times \, x^{2}}{(e^{x}\, +\, 6)^{2}}\, =\, \frac{e^{x}(2x\, -\, x^{2})\, +\, 12x}{(e^{x}\, +\, 6)^{2}}$ .

Propriété 2

Pour tout $x\, \in \, \mathbb{R}$ , on a e^x > 0.
On en déduit le tableau de signe de la fonction exponentielle :

Propriété 3

Pour tout $x\, \in \, \mathbb{R}$ , on a e^x > 0 et (e^x)' = e^x.
La dérivée de la fonction exponentielle est donc strictement positive donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur Ensemble R

.
On en déduit le tableau de variations de la fonction exponentielle :

Rappel :
Soit a et b deux nombres réels.
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J, avec pour tout $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , $ax\, +\, b\, \in \, \mathit{J}$ .
Alors, la fonction f définie sur J par f(x) = g(ax + b) est dérivable sur I et f'(x) = a × g'(ax + b).

Propriété 4

Soit a et b deux nombres réels.
La fonction f définie sur Ensemble R

par f(x) = e^ax+b est dérivable sur Ensemble R

et f'(x) = ae^ax+b.

Exemples

Déterminer les expressions des dérivées des fonctions suivantes :
→ f₁ (x) = e^4x−5.
On obtient : f₁'(x) = 4e^4x−5.
→ f₂ (x) = e^−6x.
On obtient : f₂'(x) = −6e^−6x.
→ f₃(x) = 4x² + 5e^3x+7.
On obtient : f₃'(x) = 8x + 15e^3x+7.
→ $\mathit{f}_{4}(\mathit{x})\, =\, \frac{4\mathit{x}}{e^{3\mathit{x}\, -\, 1}\, +\, 2}$ .
On a : u(x) = 4x soit u'(x) = 4 et v(x) = e^3x−1 + 2 soit v'(x) = 3e^3x−1.
Ainsi, on obtient : $\mathit{f}_{4}{}'(\mathit{x})\, =\, \frac{{\textit{u}}'\mathit{v}\, -\, {\mathit{v}}'\mathit{u}}{v^{2}}\, =\, \frac{4\times (\mathit{e}^{3\mathit{x}\, -\, 1}\, +\, 2)\, -\, 3\mathit{e}^{3\mathit{x}\, -\, 1}\, \times \, 4\mathit{x}}{(3e^{3x\, -\, 1})^{2}}\, =\, \frac{\mathit{e}^{3\mathit{x}\, -\, 1}(4\, -\, 12\mathit{x})\, +\, 8}{(3\mathit{e}^{3\mathit{x}\, -\, 1})^{2}}$ .

Représentations et méthodes

Propriété 5

Voici la représentation graphique de la fonction exponentielle et de sa tangente au point d'abscisse 0.

Propriété 6

Soit le nombre $k\, \in \, \mathbb{R}$ . Soit f la fonction définie sur Ensemble R

par f(x) = e^kx.
On a alors :

Si k > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur .
Si k < 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur .
Si k = 0, alors la fonction f est constante sur .

Croissances exponentielles

Décroissances exponentielles