Fonction exponentielle (1)

L'essentiel du cours

Soit f une fonction définie et dérivable sur un ensemble D_f et soit I un intervalle tel que $I\, \subset \, D_{f}$ .

Propriété – Définition

Il existe une unique fonction f vérifiant :

la fonction f est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ;
f' = f ;
f(0) = 1.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp.
Ainsi, pour tout $x\, \in \, \mathbb{R}$ , l'image de x par la fonction exponentielle est notée exp(x).

Définition 2

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e et donc on a : $e\, =\, \textrm{exp}\left ( 1 \right )\, \simeq \, 2,718$ .
Avec la notation introduite pour le nombre e, on a exp(x) = e^x, pour tout $x\, \in \, \mathbb{R}$ .

Propriété 1

Pour tous réels x et y et pour tout nombre naturel n, on a :

e^x+y = e^x × e^y ;
$e^{-x}\, =\, \frac{1}{e^{x}}$ ;
$e^{x-y}\, =\, \frac{e^{x}}{e^{y}}$ ;
e^nx = (e^x)ⁿ.

Exemples

Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier les écritures des expressions suivantes :
→ A = (e³)⁴ × e⁵.
On calcule : A = e¹² × e⁵ = e¹²⁺⁵ = e¹⁷.
→ B = e × e⁻⁵ × e⁸.
On calcule : B = e × e⁻⁵ × e⁸ = e^1+(−5)+8 = e⁴.
→ C = e⁴ / e⁹.
On calcule : C = e⁴ / e⁹ = e^4-9 = e⁻⁵.
→ D = e³ / e⁻⁶.
On calcule : D = e³ / e⁻⁶ = e^3-(−6) = e⁹.
→ E = (e⁴ − 7)(e⁴ + 7).
On calcule : E = (e⁴ − 7)(e⁴ + 7) = (e⁴)² − 7² = e⁸ − 49.

Propriété 2

Soit a un nombre réel. Soit la suite (u_n) définie par u_n = e^na pour tout nombre $n\, \in \, \mathbb{N}$ .
La suite (u_n) est une suite géométrique de premier terme u₀ = e^0a = 1 et de raison e^a.

Propriété 3

Pour tous réels a et b, on a :

$e^{a}\, =\, e^{b}\, \Leftrightarrow \, a\, =\, b$ ;
$e^{a}\, < \, e^{b}\, \Leftrightarrow \, a\, < \, b$ ;
$e^{a}\, > \, e^{b}\, \Leftrightarrow \, a\, > \, b$ .

Ainsi, $e^{a}\, = \, 1\, \Leftrightarrow \, a\, = \, 0$ .

Exemples

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes :
→ e^6y = e^8y+1.
On a : $e^{6y}\, =\, e^{8y+1}\, \Leftrightarrow \, 6y\, =\, 8y\, +\, 1$ soit −2y = 1 d'où $y\, =\, -\frac{1}{2}$ et donc $S\, =\, \left\{ -\frac{1}{2}\right\}$ .
→ $e^{7x^{2}}\, =\, e^{63}$ .
On a : $e^{7x^{2}}\, =\, e^{63}\, \Leftrightarrow \, 7x^{2}\, =\, 63$ soit x² = 9 d'où x = −3 ou x = 3 et donc S = {−3 ; 3}.
→ e^−4x < e^2x+24.
On a : $e^{-4x}\, < \, e^{2x+24}\, \Leftrightarrow \, -4x\, < \, 2x\, +\, 24$ soit −6x < 24 d'où x < −4 et donc $S\, =\, \left ] -\infty \, ;\, -4\right [$ .
→ 1 supérieur ou égal

e^3x.
On a : $1\, \geq \, e^{3x}\, \Leftrightarrow \, e^{0}\, \geq \, e^{3x}$ soit 0 supérieur ou égal

3x d'où 0

x et donc $S\, =\, \left ] -\infty \, ;\, 0\right [$ .