Variations et courbes représentatives des fonctions

L'essentiel du cours

Soit f une fonction définie et dérivable sur un ensemble D_f et soit I un intervalle tel que $\mathit{I}\, \subset \, \mathit{D}_{\mathit{f}}$ .

Propriété 1

Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) 0, alors la fonction f est croissante sur I.
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) 0, alors la fonction f est décroissante sur I.

Propriété 2

Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) < 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) > 0 (ou pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f'(x) < 0) sauf en un nombre fini de valeurs, alors la fonction f est strictement croissante (ou décroissante) sur I.

Définition 1 – Extremums

Soit a un nombre réel tel que $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ .

Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , on dit que f admet un maximum en a sur I si f(x) f(a).
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , on dit que f admet un minimum en a sur I si f(x) f(a).
On dit que f(a) est un extremum en a sur I lorsque f(a) est un maximum ou un minimum sur I.

Remarque : Ne pas confondre l'extremum f(x) avec la valeur x en laquelle cet extremum est atteint.

Définition 2

Le maximum (défini précédemment) est appelé maximum local.
Lorsque le maximum est la plus grande valeur obtenue sur l'ensemble de définition, on dit alors que c'est un maximum absolu. L'inverse est également vrai pour le minimum absolu.

Exemple

Soit la fonction f représentée ci-contre et définie sur [− 4 ; 4].
Elle admet un minimum local pour x = −3, ce minimum vaut − 1.
Le minimum absolu de la fonction sur son ensemble de définition est environ − 6,5 et il est atteint pour x = 2.

Propriété 3

Si la fonction f est dérivable sur I, si le réel a n'est pas une borne de l'intervalle I et si f admet un extremum local en a sur l'intervalle I, alors f'(a) = 0.

Propriété 4

Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f est croissante sur I, alors f'(x) 0.
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f est décroissante sur I, alors f'(x) 0.
Pour tout réel $\mathit{x}\, \in \, \mathit{I}$ , si f est constante sur I, alors f'(x) = 0.

Exemple

Soit la fonction f représentée ci-dessus et définie sur [− 4 ; 4].

Définition 3

Un problème d'optimisation est un problème dans lequel on cherche à rendre une valeur la plus grande (ou la plus petite) possible pour résoudre un problème concret.

Représentations et méthodes

Méthode 1

Pour étudier les variations d'une fonction, il faut :

calculer la dérivée de la fonction ;
étudier le signe de la dérivée obtenue ;
utiliser l'étude du signe pour en déduire les variations de la fonction.

Exemple
Soit la fonction g définie sur Ensemble R

par g(x) = x³ + 6x² − 36x − 2.
On calcule sa dérivée : g'(x) = 3x² + 12x − 36.
On étudie le signe de la dérivée : Δ = b² − 4ac = 144 − 4 × 3 × (−36) = 576. Ainsi, il y a deux solutions réelles : $\mathit{x}_{1}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, -\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}\, =\, \frac{-\, 12\, -\sqrt{576}}{6}\, =\, -\, 6$ et $\mathit{x}_{2}\, =\, \frac{-\, \mathit{b}\, +\, \sqrt{\Delta }}{2\mathit{a}}\, =\, \frac{-\, 12\, +\sqrt{576}}{6}\, =\, 2$ .
On obtient finalement le tableau de signe de g' et les variations de g :

Et on peut calculer g(− 6) = 214 et g(2) = −42.

Méthode 2

Pour résoudre un problème d'optimisation, il faut :

lire attentivement l'énoncé et réaliser un schéma si la situation s'y prête ;
déterminer la quantité que l'on cherche à optimiser et l'exprimer en fonction d'une (ou plusieurs) variables (s'il y a plusieurs variables, il faut autant d'équations que de variables et utiliser ces équations pour exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable) ;
déterminer l'ensemble des valeurs possibles pour la variable restante ;
exprimer la quantité à optimiser à l'aide d'une fonction et faire l'étude dans l'ordre vu à la méthode 1 (fonction dérivée, signe de la dérivée, déduction des variations de la fonction) ;
résoudre le problème posé.