Sens de variation et signe d'une fonction

L'essentiel du cours

Soit une fonction f et I un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de f.
Pour qu'une fonction f soit croissante sur un intervalle I, il faut que, pour tous nombres a et b de cet intervalle tels que a < b, on ait f(a) ≤ f(b).
Pour qu'une fonction soit croissante il faut qu'elle respecte l'ordre : f(a) et f(b) doivent être rangés dans le même ordre que a et b sur l'intervalle I.
Si l'on a f(a) < f(b), c'est-à-dire une inégalité stricte, f est strictement croissante.
Pour qu'une fonction f soit décroissante sur un intervalle I, il faut que, pour tous nombres a et b de cet intervalle, tels que a < b, on ait f(a) ≥ f(b).
Il faut et il suffit qu'elle inverse l'ordre : f(a) et f(b) doivent être rangés dans l'ordre inverse de celui de a et b sur l'intervalle I.
Si l'on a f(a) > f(b), la fonction f est strictement décroissante.
Pour qu'une fonction f soit constante sur un intervalle I, il faut que, pour deux nombres a et b de cet intervalle tels que a < b, on ait f(a) = f(b).
Une fonction est constante sur un intervalle I lorsque tous les réels de cet intervalle ont la même image.
Pour savoir sur quelle partie de son ensemble de définition une fonction f est positive, on résout l'inéquation f(x) ≥ 0. La fonction est alors négative sur l'autre partie.
Attention : une fonction peut être positive et décroissante ou négative et croissante.
Soit f une fonction numérique définie pour tout x de I (I une partie de $\mathbb{R}$ ).
On dit que f est paire si et seulement si :
– I est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de I, f(x) = f(−x).
On dit que f est impaire si et seulement si :
– I est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de I, f(−x) = −f(x).
Exemple
Soit la fonction affine f, définie sur [−1 ; 5] par f(x) = −2x + 3.
Pour tous réels a et b tels que : −1 < a < b < 5, on a :
−2 > −2a > −2b > −10 et 5 > −2a + 3 > −2b + 3 > −7 ;
– soit 5 > f(b) > f(a) > −7.
Comme l'ordre est inversé, f est donc décroissante sur l'intervalle [−1 ; 5].
On peut résumer ces informations en un tableau de variation :

Une fonction affine est décroissante lorsque son coefficient directeur est négatif. S'il est positif, la fonction affine est croissante.
Exemples
La fonction carré est paire. En effet l'ensemble de définition de la fonction carré est $\mathbb{R}$ . $\mathbb{R}$ est bien un ensemble symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout x de $\mathbb{R}$ :
(−x)² = (−1 × x)² = (−1)² × x² = 1 × x² = x²
La fonction inverse est impaire. En effet l'ensemble de définition de la fonction inverse est $\mathbb{R}^{*}$ . $\mathbb{R}^{*}$ est bien un ensemble symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout x de $\mathbb{R}^{*}$ :
$\frac{1}{-x}\, =\, -\frac{1}{x}$
Conséquence graphique :

On munit le plan d'un repère orthogonal. Soit f une fonction numérique et C_f la courbe représentative de f dans le repère.
Si f est paire alors C_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Si f est impaire alors C_f est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Illustration : la parabole représentant la fonction carré est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'hyperbole représentant la fonction inverse est bien symétrique par rapport à l'origine du repère.