Dérivation (2)

L'essentiel du cours

Définition 1

On dit qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable pour tout réel de I.
On appelle alors fonction dérivée sur I la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé en x.
Si f est une fonction dérivable sur I, alors la fonction dérivée de f notée f' est la fonction qui à tout x de I associe f'(x).

Propriété – Fonctions dérivées des fonctions de référence

Fonction	Expression de f(x)	Ensemble de définition de f	Ensemble de dérivation de f (donc ensemble de définition de f')	Expression de f'(x)
Constante	f(x) = b avec $b\, \in \, \mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = 0
Identité	f(x) = x	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = 1
Affine	f(x) = mx + p avec $m\, \in \, \mathbb{R}$ et $p\, \in \, \mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = m
Carré	f(x) = x²	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = 2x
Cube	f(x) = x³	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = 3x²
Puissance	f(x) = xⁿ avec $n\, \in \, \mathbb{N}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	f'(x) = nxⁿ⁻¹
Puissance	f(x) = xⁿ avec $n\, \in \, \mathbb{Z}$ et n < 0	$\mathbb{R}^{*}$	$\mathbb{R}^{*}$	f'(x) = nxⁿ⁻¹
Inverse	$f\left ( x \right )\, =\, \frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^{*}$	$\mathbb{R}^{*}$	$f'\left ( x \right )\, =\, -\frac{1}{x^{2}}$
Racine carrée	$f\left ( x \right )\, =\, \sqrt{x}$	$\mathbb{R}^{*}$	$\mathbb{R}^{+*}$	$f'\left ( x \right )\, =\, \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Opérations sur les dérivées

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .

Propriété 1 – Somme

La fonction u + v est dérivable sur l'intervalle I et (u + v)' = u' + v'.

Propriété 2 – Produit par un réel

Soit k un nombre réel quelconque.
La fonction ku est dérivable sur l'intervalle I et (ku)' = k × u'.
Cas particulier : Toutes les fonctions polynômes sont dérivables sur $\mathbb{R}$ .
La dérivée d'une fonction polynôme de la forme f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀ est une fonction de la forme : f'^(x) = na_nxⁿ⁻¹ + (n − 1)a_n−1xⁿ⁻² + … + 2a₂x + a₁.

Propriété 3 – Produit

La fonction uv est dérivable sur l'intervalle I et (uv)' = u'v + v'u.

Propriété 4 – Quotient

On suppose que la fonction v ne s'annule pas sur I.
La fonction $\frac{u}{v}$ est dérivable sur l'intervalle I et $\left ( \frac{u}{v} \right )'\, =\, \frac{u'v\, -\, v'u}{v^{2}}$ .
Cas particulier : On suppose que la fonction v ne s'annule pas sur I.
La fonction $\frac{1}{v}$ est dérivable sur l'intervalle I et $\left ( \frac{1}{v} \right )'\, =\, \frac{-v'}{v^{2}}$ .

Propriété 5 – Composition

Soit a et b deux nombres réels.
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I, avec pour tout $x\, \in \, J$ , $ax\, +\, b\, \in \, I$ .
Une fonction f définie sur J par f(x) = g(ax + b) est dérivable sur J et sa dérivée est donnée par la formule : f'(x) = a × g'(ax + b).

Exemples

→ Soit la fonction f₁ définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par $f_{1}\left ( x \right )\, =\, \left ( 2x\, +\, 1 \right )\sqrt{x}$ .
D'une part : u(x) = 2x + 1 et donc u'(x) = 2. D'autre part : $v\left ( x \right )\, =\, \sqrt{x}$ et donc $v'\left ( x \right )\, =\, \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
On obtient donc : $f'_{1}\left ( x \right )\, =\, u'v\, +\, v'u\, =\, 2\sqrt{x}\, +\, \frac{1}{2\sqrt{x}}\, \times \, \left ( 2x\, +\, 1 \right )$ .
→ Soit la fonction f₂ définie sur $\mathbb{R}\, \setminus \, \left\{ -\frac{1}{2}\right\}$ par $f_{2}\left ( x \right )\, =\, \frac{3x^{4}}{2x\, +\, 1}$ .
D'une part : u(x) = 3x⁴ et donc u'(x) = 12x³. D'autre part : v(x) = 2x + 1 et donc v'(x) = 2.
On obtient donc : $f'_{2}\left ( x \right )\, =\, \frac{u'v\, -\, v'u}{v^{2}}\, =\, \frac{12x^{3}\, \times \, \left ( 2x\, +\, 1 \right )\, -\, 2\, \times \, 3x^{4}}{\left ( 2x\, +\, 1 \right )^{2}}\, =\, \frac{24x^{4}\, +\, 12x^{3}\, -\, 6x^{4}}{\left ( 2x\, +\, 1 \right )^{2}}\, =\, \frac{18x^{4}\, +\, 12x^{3}}{\left ( 2x\, +\, 1 \right )^{2}}\, =\, \frac{6x^{3}\left ( 3x\, +\, 2 \right )}{\left ( 2x\, +\, 1 \right )^{2}}$ .
→ Soit la fonction f₃ définie sur $\left ]\frac{3}{2}\, ;\, +\infty \right [$ par $f_{3}\left ( x \right )\, =\, \sqrt{2x\, -\, 3}$ .
D'une part : ax + b = 2x − 3 et donc a = 2. D'autre part : $g\left ( x \right )\, =\, \sqrt{x}$ et donc $g'\left ( x \right )\, =\, \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
On obtient donc : $f'_{3}\left ( x \right )\, =\, a\, \times \, g'\left ( ax\, +\, b \right )\, =\, 2\, \times \, \frac{1}{2\sqrt{2x\, -\, 3}}\, =\, \frac{1}{\sqrt{2x\, -\, 3}}$ .