Fonctions polynômes du second degré

L'essentiel du cours

Définition 1

Soit a, b et c des nombres réels avec $a\, \neq \, 0$ .
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f définie sur $\mathbb{R}$ dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme f(x) = ax² + bx + c pour tout réel x.
Cette forme est appelée forme développée de la fonction f, et dans ce cas les nombres réels a, b et c sont les coefficients de la fonction polynôme f.

Exemple

→ Si f(x) = 4(x + 2)² − (2x + 1)(3x + 2), on développe cette expression pour savoir si la fonction f est une fonction polynôme du second degré.
On obtient : f(x) = 4(x² + 4x + 4) − (6x² + 4x + 3x + 2) = −2x² + 9x + 14. Donc f est une fonction polynôme du second degré dont les coefficients sont : a = −2, b = 9 et c = 14.
→ Si $g\left ( x \right )\, =\, \frac{x^{3}\, +\, 2x}{x}$ , on simplifie cette expression et on obtient : g(x) = x² + 2. Donc g est une fonction polynôme du second degré dont les coefficients sont : a = 1, b = 0 et c = 2.
Remarque : Dans certains cas, on peut factoriser la fonction polynôme du second degré et ainsi travailler avec une expression plus simple à manipuler.

Exemple

Si h(x) = (x + 2)(x − 3) − (2x + 1)(x + 2), on factorise cette expression et on obtient :
h(x) = (x + 2)((x − 3) − (2x + 1)) = (x + 2)(x − 3 − 2x − 1) = (x + 2)(−x − 4).
Si on développe h, on voit que c'est bien une fonction polynôme du second degré et avec la forme factorisée obtenue, on peut trouver facilement les solutions de h(x) = 0.

Propriété – Définition 2

Soit a, b et c des nombres réels avec $a\, \neq \, 0$ .
Pour toute fonction polynôme du second degré f vérifiant f(x) = ax² + bx + c pour tout réel x, il existe deux nombres réels α et β tels que f(x) = a(x − α)² + β.
Cette forme est appelée forme canonique de la fonction f.

Propriété – Définition 3

Soit a, b et c des nombres réels avec $a\, \neq \, 0$ .
Pour toute fonction polynôme du second degré f vérifiant f(x) = ax² + bx + c pour tout réel x, il existe deux nombres réels α et β tels que f(x) = a(x − α)² + β.
Dans ce cas, on a : $\alpha \, =\, -\frac{b}{2a}$ et β = f(α).

Courbes représentatives

Propriété

Soit a, b et c des nombres réels avec $a\, \neq \, 0$ .
Soit α et β deux nombres réels.

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré dont la forme canonique est donnée par l'expression f(x) = a(x − α)² + β est une parabole dont le sommet a pour coordonnées (α ; β).
Cette parabole possède un axe de symétrie : la droite d'équation x = α.
Si a > 0, la fonction f est décroissante sur $\left ]-\infty \, ;\, \alpha \right ]$ puis croissante sur $\left [ \alpha \, ;\, +\infty \right [$ et elle possède un minimum en x = α.
Si a < 0, la fonction f est croissante sur $\left ]-\infty \, ;\, \alpha \right ]$ puis décroissante sur $\left [ \alpha \, ;\, +\infty \right [$ et elle possède un maximum en x = α.

Si a > 0, la parabole est « tournée vers le haut ».

Si a < 0, la parabole est « tournée vers le bas ».