R et ses sous-ensembles (1)

L'essentiel du cours

Démontrer

est l'ensemble des nombres entiers ou entiers naturels. Ensemble N

= {0;1;2;3;4;…}.
Ensemble Z

est l'ensemble des nombres entiers relatifs. Ensemble Z

= {… ; −3 ;−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.

est l'ensemble des nombres décimaux, qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^{n}}$ avec $a\, \in \, \mathbb{Z}$ et $n\, \in \, \mathbb{N}$ ; ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ensemble Q

est l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\, \in \mathbb{Z}$ et $b\, \in \mathbb{Z}^{\ast}$ .
Ensemble R

est l'ensemble des nombres réels.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels. Ex. : π, $\sqrt{2}$ .
Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions : $\mathbb{N\, \in \, \mathbb{Z}}\, \in \, \mathbb{D}\, \in \, \mathrm{Q}\, \in \, \mathbb{R}$ .
Pour reconnaître la nature d'un nombre :

on simplifie au maximum son écriture ;
dans le cas d'un quotient irréductible $\frac{a}{b}$ , on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul), $\frac{a}{b}$ est un décimal ; si elle ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et $\frac{a}{b}$ est un rationnel qui n'est pas un décimal ;
si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.

Méthodes

Les intervalles

Soit a et b deux réels tels que a inférieur ou égal

L'intervalle fermé [a;b] est l'ensemble des réels x tels que a x b.
L'intervalle ouvert ]a;b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x <b.
L'intervalle ouvert $\left ] -\infty;a \right [$ est l'ensemble des réels x tels que x < a.
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) [a;b[ est l'ensemble des réels x tels que a x < b.

On définit de même les intervalles ]a ; b], $\left ] -\infty;a \right ]$ , $\left [a;+\infty \right [$ , $\left ]a; +\infty \right [$ .
L'ensemble Ensemble R

lui-même peut être noté $\left ]-\infty ; +\infty \right [$ .
L'intersection de deux intervalles I et J est l'intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors +∞ est un intervalle.
Exemple : Si I = [−1 ; 9] et J = ]6 ; 12[, alors : $I\, \cap\, J\, =\, \left ]6;9 \right ]$ et $I\, \cup \, J\, =\, \left [-1;12 \right [$ .

La valeur absolue

Définition : la distance entre deux réels a et b est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée |a − b| ou encore |b. |a − b| se lit « valeur absolue de a moins b ».
Interprétation graphique : sur une droite graduée d'origine O, notons A le point d'abscisse a et B le point d'abscisse b. |a − b| est la longueur AB.
Remarque : la distance entre deux réels est un nombre positif.
Conséquence : $\sqrt{a^{2}}$ est la distance entre le réel a et le réel 0.
Définition : pour tout réel a, $\sqrt{a^{2}}\, =\, \left | a\right |$
Démonstration par disjonction de cas : a positif puis a négatif.
Exemple : |2019| = 2019 ; |− 2019| = 2019.
Propriété : soit a un réel, r est un réel strictement positif. |x − a| inférieur ou égal

r si et seulement si x appartient à l'intervalle [a − r ; a + r].

Définition : Un réel x a pour valeur approchée à 10⁻ⁿ près le décimal a lorsque : |x − a| inférieur ou égal

10⁻ⁿ.