Sujet zéro, épreuve commune, sujet 2, des instruments, des notes et des gammes, 2020

Énoncé

Les instruments de musique produisent des sons auxquels l'oreille humaine associe certaines caractéristiques : hauteur, timbre et intensité. La répartition des notes dans une gamme a été retenue pour qu'elles sonnent de manière harmonieuse les unes par rapport aux autres. La recherche de cette harmonie a conduit à différents types de gammes, des gammes dites de Pythagore aux gammes tempérées.

Le sujet est composé de deux parties largement indépendantes.

Partie 1 : Des instruments et des notes

Les cordes d'un piano vibrent lorsqu'elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.

1. Calculer la fréquence associée au La₄ situé une octave au-dessus du La₃.

Lorsqu'on passe d'une octave à la suivante, le rapport de leur fréquence est égal à 2.

2. On s'intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d'acquisition informatisé permet l'enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons.

Document 2. Signaux enregistrés correspondant à des notes de musique jouées par un piano.

**Figure 1.**
**Signal sonore en fonction du temps. Une graduation horizontale correspond à 1,0 ms**

**Figure 2.**
**Signal sonore en fonction du temps. Une graduation horizontale correspond à 1,0 ms**

2. 1. Justifier que les figures 1 et 2 correspondent à deux notes différentes.

Deux mêmes notes ont la même fréquence.

2. 2. Identifier les notes correspondant aux figures 1 et 2.

Pour identifier les notes, il faut déterminer leur fréquence et donc leur période. Pour une meilleure précision, il vaut mieux mesurer plusieurs périodes.

Partie 2 : Des notes et des gammes

La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur 1 (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple 262 Hz pour le Do₃). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.
La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur f₀ = 1. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant f₀ par $\frac{3}{2}$ . On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par $\frac{3}{2}$ une fréquence comprise entre 1 et 2 peut donner une fréquence supérieure ou égale à 2. On se propose de démontrer que, si on divise par 2 la valeur obtenue, on la ramène dans l'octave.

On suppose que 1 inférieur ou égal

f < 2 et on raisonne par disjonction de cas :

• premier cas : $1\leq f< \frac{4}{3}$ . Montrer que $1\leq \frac{3}{2}\times f< 2$ ;

• deuxième cas : $\frac{4}{3}\leq f< 2$ . Montrer que $2\leq \frac{3}{2}\times f$ et $1\leq \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}f< 2$ .

Utiliser chaque inégalité donnée, en transposant des coefficients on obtiendra les inégalités à démontrer.

4. L'algorithme suivant permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu'à ce qu'on retombe sur la fréquence initiale.
f ← 1
$f\leftarrow \frac{3}{2}\times f$
n ← 1
Tant que $f\neq 1$ faire
n ← n + 1
$f\leftarrow f\times \frac{3}{2}$
Si f supérieur ou égal

2 alors $f\leftarrow f\times \frac{1}{2}$
Fin Si
Fin Tant que
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme. Les résultats seront donnés d'abord sous forme exacte comme quotients d'une puissance de 2 par une puissance de 3, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l'aide de la calculatrice.

Numéro de la note	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Fréquence (fraction irréductible)	1	$\frac{3}{2}$				$\frac{3^{5}}{2^{7}}$	$\frac{3^{6}}{2^{9}}$	$\frac{3^{7}}{2^{11}}$		$\frac{3^{9}}{2^{14}}$	$\frac{3^{10}}{2^{15}}$	$\frac{3^{11}}{2^{17}}$	$\frac{3^{12}}{2^{19}}$
Fréquence (valeur approchée à 10⁻² près)	1	1,5				1,9	1,42	1,07		1,20	1,80	1,35	1,01

Chaque note suivante a une fréquence dont la valeur est calculée par l'algorithme donné.

5. L'algorithme termine-t-il pour une valeur de n inférieure ou égale à 12 ?

Analyser la condition dans le « tant que » puis la comparer au tableau de valeurs calculées précédemment.

Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de 1 par multiplications successives par $\frac{3}{2}$ et parfois par $\frac{1}{2}$ . Elles peuvent donc toutes s'écrire sous la forme $\frac{3^{m}}{2^{n}}$ où m et n sont des entiers naturels non nuls.

6. 1. Démontrer que l'égalité $\frac{3^{m}}{2^{n}}=1$ est impossible.

Pour résoudre l'équation, faire un produit en croix et procéder par un raisonnement par l'absurde.

6. 2. Que peut-on en déduire pour l'algorithme proposé ci-dessus ?

Analyser de nouveau la condition de la boucle « tant que » avec la réponse à la question précédente.

7. D'après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. En s'appuyant sur le tableau de la question 4, justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.

Analyser la valeur de la fréquence pour la douzième note.

Si on choisit comme fréquence de référence celle du Do₃, les fréquences réelles des autres notes sont obtenues en multipliant par 262 les fréquences calculées dans le tableau de la question 4. En les rangeant dans l'ordre croissant et en arrondissant à l'unité, on obtient les fréquences des notes de la gamme de Pythagore à 12 notes :

Do	Do#	Ré	Ré#	Mi	Fa	Fa#	Sol	Sol#	La	La#	Si
262	280	295	315	332	354	373	393	420	442	472	497

8. 1. Comparer ces fréquences à celles inscrites sur les touches du piano de la partie 1.

Une gamme est une suite de notes, la dernière répétant la première à l'octave supérieure (ou inférieure).

8. 2. Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans cette gamme. Que constate-t-on ?

Faire le calcul proposé et comparer les rapports obtenus entre eux. Conclure quant à la valeur des demi-tons.

9. 1. Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do, puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans la gamme figurant sur le piano représenté dans la partie 1. Que constate-t-on ?

Faire le calcul proposé et comparer les rapports obtenus entre eux. Conclure quant à la valeur des demi-tons.

9. 2. Comment nomme-t-on la gamme figurant sur le piano ? En quoi diffère-t-elle de la gamme de Pythagore à 12 notes ?

Compte tenu de la question précédente, la gamme figurant sur le piano est différente de la gamme de Pythagore.

Corrigé

1. La fréquence associée au La₄ qui est à l'octave au-dessus du La₃ a donc une valeur deux fois plus grande. Soit, en Hz : f = 2 × 441 = 882.

2. 1. Comme la période est l'inverse de la fréquence et que les périodes des deux signaux sont différentes, alors les deux notes jouées sont différentes.

2. 2. Sur le signal de la figure 1, on peut mesurer 3 périodes :
3T= 11,5 div. Or 1 div représente 1 ms donc 3T = 11,5 ms = 11,5 × 10⁻³ s,
soit $T=\frac{11,5\times 10^{-3}}{3}=3,83\times 10^{-3}$ (en s).
Comme $f=\frac{1}{T}$ , on obtient $f=\frac{1}{3,83\times 10^{-3}}=261$ (en Hz). Il s'agit du Do₃.
De même, pour le signal de la figure 2, on mesure 4 périodes :
4T = 10,2 div. Or 1 div représente 1 ms donc 4T = 10,2 × 10⁻³ s,
soit $T=\frac{10,2\times 10^{-3}}{4}=2,55\times 10^{-3}$ (en s).
Comme $f=\frac{1}{T}$ , on obtient $f=\frac{1}{2,55\times 10^{-3}}=392$ (en Hz). Il s'agit du Sol₃.

3. Dans le premier cas, on a $1\leq f< \frac{4}{3}$ .
On multiplie tous les membres par $\frac{3}{2}$ , on obtient : $1\times \frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}\times f< \frac{4}{3}\times \frac{3}{2}$ ,
soit $\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}\times f< 2$ , et comme $1< \frac{3}{2}$ , on obtient $1\leq \frac{3}{2}\times f< 2$ .
Dans le deuxième cas, on a $\frac{4}{3}\leq f< 2$ .
On multiplie tous les membres par $\frac{3}{2}$ , on obtient : $\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\leq \frac{3}{2}\times f< \frac{3}{2}\times 2$ ,
soit $2\leq \frac{3}{2}\times f< 3$ . En multipliant tous les membres par $\frac{1}{2}$ : $2\times \frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times f< 3\times \frac{1}{2}$ ,
on obtient : $1\leq \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times f< \frac{3}{2}$ et $\frac{3}{2}< 2$ donc : $1\leq \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times f< 2$ .

4. L'algorithme multiplie la fréquence par $\frac{3}{2}$ .
Si la fréquence devient supérieure à 2 alors la fréquence est multipliée par $\frac{1}{2}$ .

Numéro de la note	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Fréquence (fraction irréductible)	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}\times \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3^{2}}{2^{3}}$	$\frac{3^{2}}{2^{3}}\times \frac{3}{2}=\frac{3^{3}}{2^{4}}$	$\frac{3^{3}}{2^{4}}\times \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3^{4}}{2^{6}}$	$\frac{3^{5}}{2^{7}}$	$\frac{3^{6}}{2^{9}}$	$\frac{3^{7}}{2^{11}}$	$\frac{3^{7}}{2^{11}}\times \frac{3}{2}=\frac{3^{8}}{2^{12}}$	$\frac{3^{9}}{2^{14}}$	$\frac{3^{10}}{2^{15}}$	$\frac{3^{11}}{2^{17}}$	$\frac{3^{12}}{2^{19}}$
Fréquence (valeur approchée à 10⁻² près)	1	1,5	1,13	1,69	1,27	1,9	1,42	1,07	1,60	1,20	1,80	1,35	1,01

5. La boucle « tant que » de l'algorithme termine si la condition f = 1 est remplie. Or, d'après le tableau précédent, la fréquence n'est jamais égale à 1. Donc l'algorithme ne termine pas pour les notes numérotées de 0 à 12.

6. 1. Résoudre $\frac{3^{m}}{2^{n}}=1$ revient à résoudre 3^m = 2ⁿ. Or toutes les puissances de 3 sont des entiers impairs et toutes les puissances de 2 sont des entiers pairs, pour n non nul. Il est donc impossible de trouver deux entiers m et n qui satisfassent l'équation : l'équation proposée est impossible.

6. 2. Comme l'algorithme proposé multiplie la fréquence par $\frac{3}{2}$ et/ou par $\frac{1}{2}$ , donc par $\frac{3^{m}}{2^{n}}$ , et que le rapport $\frac{3^{m}}{2^{n}}\neq 1$ , on peut conclure que l'algorithme ne s'arrête pas puisque la condition d'arrêt n'est jamais atteinte.

7. Le cycle des quintes ne reboucle jamais exactement sur la note de départ, car $\frac{3^{m}}{2^{n}}\neq 1$ . En revanche, on peut observer que la fréquence de la note numéro 12 est égale à 1,01 qui est proche de 1. On peut ainsi considérer que la note numéro 12 a une fréquence qui revient quasiment à la fréquence de départ. Les notes du numéro 0 au numéro 12 forment ainsi une suite finie répartie dans une octave.

8. 1. La gamme de Pythagore ne donne pas les mêmes fréquences que celles des touches du piano de la partie 1. Ce n'est pas la même gamme.

8. 2. Le rapport entre la fréquence du Do# et celle du Do est :
$\frac{fr\acute{e}quence\,du\,Do \#}{fr\acute{e}quence\,du\,Do}=1,07$ .
Le rapport entre la fréquence du Ré et celle du Do# est :
$\frac{fr\acute{e}quence\,du\,R\acute{e}}{fr\acute{e}quence\,du\,Do\#}=1,05$ .
Les valeurs des deux rapports sont différentes. Les demi-tons de la gamme de Pythagore ne sont pas égaux.

9. 1. Pour le piano de la partie 1, le rapport entre la fréquence du Do# et celle du Do est :
$\frac{fr\acute{e}quence\,du\,Do\#}{fr\acute{e}quence\,du\,Do}=1,06$ .
Le rapport entre la fréquence du Ré et celle du Do# est :
$\frac{fr\acute{e}quence\,du\,R\acute{e}}{fr\acute{e}quence\,du\,Do\#}=1,06$ .
Les valeurs des deux rapports sont égales.