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Trigonométrie

Dans un triangle les angles géométriques sont saillants. Leur mesure varie de 0 à 180°. Pour un cercle les angles au centre rentrants peuvent mesurer jusqu'à 360°.
Les angles orientés ont des mesures réelles, éventuellement négatives ou supérieures à 360°. Au degré on préfère alors le radian.
Le sinus et du cosinus d'un angle orienté se définissent à partir du cercle trigonométrique, centré sur l'origine d'un repère orthonormal, de rayon 1 et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
1. Quel est l'intérêt d'une mesure d'angle en radian ?
Définition  : Le radian est la mesure d'un angle au centre qui découpe sur le cercle un arc dont la longueur est égale au rayon.
Conversion  : Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à 2π r. Donc 2π radians équivalent à 360°. Soit 1 radian =  \frac{360°}{2\pi} ou 1 radian \approx  57,30°.
On retiendra : π radians = 180°, ou plus simplement π  = 180°.
Mesure d'un arc  : La mesure d'un arc est la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc.
Longueur d'un arc  : Un angle de α radians intercepte un arc de longueur l = r  ×   α.
Une mesure en degrés nécessiterait le calcul préalable du périmètre du cercle et aboutirait à une formule plus compliquée : l\,=\,2\pi{r}\,\times\,\frac{\alpha}{360}\,=\,\frac{\pi{r}\alpha}{180}
Exercice n°1Exercice n°2
2. Qu'est-ce qu'un angle orienté ?
Orientation du plan  : Le plan est orienté dans le sens positif lorsque tous les cercles de ce plan sont parcourus dans le sens positif, c'est à dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Cercle trigonométrique  : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle
- de rayon 1,
- centré sur l'origine,
- parcouru dans le sens positif.
Définition  : Si A et M sont deux points d'un cercle trigonométrique de centre O, l'angle formé par les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OM} est l'angle orienté (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}).
Un repère orthonormé (O ; I ; J) est direct lorsque (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ})\,=\,\frac{\pi}{2}.
Mesure d'un angle orienté  : Si α est la mesure d'un angle orienté alors tout autre mesure de la forme y\,=\,\alpha\,+\,2k\pi\,(k\,\in\,Z) convient. Plus directement on note (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha[2\pi] (la mesure de l'angle (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}) est égale à α à 2π près).
3. Comment déterminer la mesure principale d'un angle orienté ?
Définition  : Un angle orienté possède une infinité de mesures. En ajoutant ou en retranchant 2π à une mesure donnée on obtient une autre mesure possible.
La mesure principale α vérifie -\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi.
Méthode  : On décompose la mesure donnée pour faire apparaître une somme dont l'un des termes est multiple de 2π.
Exemple  : Pour un angle mesurant \frac{27\pi}{4} radians on écrit :
\frac{27\pi}{4}\,=\,\frac{24\pi}{4}\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,6\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,3\,\times\,2\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}.
Comme -\pi\,<\,\frac{3\pi}{4}\,\le\,\pi, c'est la mesure principale de l'angle de \frac{27\pi}{4} radians.
Exercice n°5Exercice n°6
4. Quelles sont les propriétés des angles orientés ?
Transformations d'écritures  : Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs non nuls du plan alors :
(-\vec{u}\,;\, \vec{u})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{u})\,=\,\pi [2π],
(\vec{v}\,;\, \vec{u})\,=\,-(\vec{u}\,;\,\vec{v}) [2π],
(-\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{v}) [2π],
(-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v}) [2π] ou (-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,-\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v}) [2π].
Relation de Chasles  : Si \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont trois vecteurs non nuls du plan alors : (\vec{u}\,;\, \vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\, \vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\, \vec{w}) [2π].
5. Qu'est-ce qu'un repérage polaire ?
Définition : Dans un repère du plan, défini par un point origine et deux vecteurs non nuls et non colinéaires, tout point M est repéré par deux coordonnées cartésiennes, son abscisse et son ordonnée.
On peut aussi repérer le point M à l'aide d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire \overrightarrow{OI}, le plan étant orienté dans le sens positif. Le premier paramètre est la longueur OM (le rayon) et le second la mesure principale α de l'angle orienté (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}) (l'azimut).
Soit M(OM ; α ).
6. Comment déterminer le cosinus et le sinus d'un angle orienté ?
(O ; I ; J) est un repère orthonormé du plan.
M est un point du cercle trigonométrique et (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha.
Pour 0\,\le\,\alpha\,\le\,\frac{\pi}{2}, on a : \cos\,\alpha\,=\,\frac{OH}{OM}\,=\,\frac{OH}{1}\,=\,OH et \sin\,\alpha\,=\,OK\,=\,\frac{HM}{OM}\,=\,\frac{HM}{1}\,=\,HM\,=\,OK.
Plus généralement le point M pour coordonnées M(\cos\,\alpha\,;\,\sin\,\alpha).
Le cosinus de l'angle (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}) est l'abscisse du point M. Le sinus est son ordonnée.
7. Quels sont les cosinus et sinus des angles associés ?
Soit M un point du cercle trigonométrique de repère orthonormé direct (O ; I ; J).
On pose (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,x.
Angles opposés  : Soit M1 le point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{1})\,=\,-x.
Les points M et M1 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Donc : \cos(-x)\,=\,\cos{x} et \sin(-x)\,=\sin\,x.
Angles supplémentaires  : Soit M2 le point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{2'})\,=\,\pi\,-x.
Les points M et M2 sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Donc : \cos(\pi\,-x)\,=\,-\,\cos{x} et \sin(\pi\,-x)\,=\,-\sin\,x.
Angles complémentaires  : Soit M3 le point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{3})\,=\,\frac{\pi}{2}\,-x.
Les points M et M3 sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ}). Donc : \cos\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\sin\,x et \sin\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\cos\,x.
Angles ayant un écart de \frac{\pi}{2}  : Soit M4 le point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{4})\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,x. Le point M4 est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle \frac{\pi}{2}. Donc : \cos\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,= -\,\sin\,x (attention au signe «  −  ») et \sin\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,=\,\cos\,x.
Angles ayant un écart de π  : Soit M5 le point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{5})\,=\,\pi\,+\,x. Les points M et M5sont symétriques par rapport à O. Donc : \cos(\pi\,+\,x)\,=\,-\cos\,x et \sin(\pi\,+\,x)\,=\,\sin{x}.
8. Quelles sont les solutions des équations trigonométriques \cos\,\,x\,=\,a ou x = b ?
Égalité de deux cosinus  : Soient deux points M et M' du cercle trigonométrique d'un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan. Les cosinus des angles (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}) et (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM'}) sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Donc \cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha équivaut à \alpha'\,=\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi ou \alpha'\,=\,-\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi (k\,\in\,Z).
Deux angles orientés ont le même cosinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou opposées.
Égalité de deux sinus  : Les sinus des angles (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}) et (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}') sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc \sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha équivaut à \alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi ou \alpha'\,=\,\pi\,-\,\alpha\,+\,2k\pi (k\,\in\,Z).
Deux angles orientés ont le même sinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou supplémentaires.
À retenir
Formule de conversion : π radians = 180°
Longueur de l'arc de cercle intercepté par un angle au centre de α radians sur un cercle de rayon r  : l = r  ×   α.
Cercle trigonométrique  : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle de rayon 1, centré sur l'origine et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Notation d'un angle orienté : (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\equiv\,\alpha\,[2\pi] (La mesure de l'angle (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}) est égale à α à 2π près).
Mesure principale α d'un angle orienté : -\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi.
Repérage d'un point M en coordonnées polaires, dans un repère composé d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire (\overrightarrow{OI})  :
M(OM ; α), avec α mesure principale de l'angle orienté (\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}).
Relation de Chasles  : (\vec{u}\,;\,\vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{w}) [2π].
Formules des angles associés  :
\cos(-x)\,=\,\cos\,x et \sin(-x)\,=\,-\,\sin\,x  ;
\cos(\pi\,-\,x)\,=\,-\,\cos\,x et \sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin\,x  ;
\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\sin\,x et \sin(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\cos\,x  ;
\cos(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,-\,\sin\,x et \sin(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,\cos\,x  ;
\cos(\pi,+\,x)\,=\,-\,\cos\,x et \sin(\pi,+\,x)\,=\,\sin\,x  ;
Équations trigonométriques  :
\cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha équivaut à \alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi ou \alpha'\,=\,-\alpha\,+\,2k\pi (k\,\in\,Z) ;
\sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha équivaut à \alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi ou \alpha'\,=\,\pi\,-\alpha\,+\,2k\pi (k\,\in\,Z) .
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