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Mathématiques Première S : le programme officiel

Introduction

L'enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque élève la culture mathématique indispensable pour sa vie de citoyen et les bases nécessaires à son projet de poursuite d'études.
Le cycle terminal de la série S procure un bagage mathématique solide aux élèves désireux de s'engager dans des études supérieures scientifiques, en les formant à la pratique d'une démarche scientifique et en renforçant leur goût pour des activités de recherche.
L'apprentissage des mathématiques cultive des compétences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident à mieux appréhender une société en évolution. Au-delà du cadre scolaire, il s'inscrit dans une perspective de formation de l'individu.

1. Finalités

1. 1. Objectif général
Outre l'apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes :
  • mettre en œuvre une recherche de façon autonome ;
  • mener des raisonnements ;
  • avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ;
  • communiquer à l'écrit et à l'oral.
1. 2. Raisonnement et langage mathématique
Comme en classe de seconde, les capacités d'argumentation, de rédaction d'une démonstration et de logique font partie intégrante des exigences du cycle terminal.
Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne font pas l'objet de cours spécifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des moments d'institutionnalisation de certains concepts ou types de raisonnement, après que ceux-ci ont été rencontrés plusieurs fois en situation.
De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne sont pas fixés d'emblée, mais sont introduits au cours du traitement d'une question en fonction de leur utilité.
Il convient de prévoir des temps de synthèse, l'objectif étant que ces éléments soient maîtrisés en fin de cycle terminal.
1. 3. Utilisation d'outils logiciels
L'utilisation de logiciels, d'outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation change profondément la nature de l'enseignement en favorisant une démarche d'investigation.
En particulier, lors de la résolution de problèmes, l'utilisation de logiciels de calcul formel peut limiter le temps consacré à des calculs très techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements.
L'utilisation de ces outils intervient selon trois modalités :
  • par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ;
  • par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ;
  • dans le cadre du travail personnel des élèves hors de la classe.
1. 4. Diversité de l'activité de l'élève
Les activités proposées en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la résolution de problèmes purement mathématiques ou issus d'autres disciplines. De nature diverse, elles doivent entraîner les élèves à :
  • chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à l'aide d'outils logiciels ;
  • choisir et appliquer des techniques de calcul ;
  • mettre en œuvre des algorithmes ;
  • raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ;
  • expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit.
Des éléments d'épistémologie et d'histoire des mathématiques s'insèrent naturellement dans la mise en œuvre du programme. Connaître le nom de quelques mathématiciens célèbres, la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. La présentation de textes historiques aide à comprendre la genèse et l'évolution de certains concepts.
Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, les travaux hors du temps scolaire contribuent à la formation des élèves et sont absolument essentiels à leur progression. Ils sont conçus de façon à prendre en compte la diversité et l'hétérogénéité de leurs aptitudes.
Les modes d'évaluation prennent également des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l'aptitude à mobiliser l'outil informatique dans le cadre de la résolution de problèmes est à évaluer.

2. Analyse

Le programme s'inscrit, comme celui de la classe de seconde, dans le cadre de la résolution de problèmes.
Les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifiées d'origine purement thématique ou en lien avec d'autres disciplines. Un des objectifs de ce programme est de doter les élèves d'outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets. Ainsi, on consolide l'ensemble des fonctions mobilisables, enrichi de deux nouvelles fonctions de référence, la fonction racine carrée et la fonction cube.
On introduit un nouvel outil : la dérivation. L'acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première. Les fonctions étudiées sont toutes régulières et on se contente d'une approche intuitive de la notion de limite finie en un point.
En relation avec l'étude de phénomènes discrets, la maîtrise du traitement de données numériques nécessite la manipulation aisée des pourcentages. Il convient sur ce sujet de conforter les méthodes déjà rencontrées à l'aide de situations variées relevant par exemple d'un contexte économique ou du traitement d'informations chiffrées fournies par les médias.
Dans de nombreux domaines, notamment l'économie ou les sciences sociales, on s'intéresse à l'évolution de phénomènes qui peuvent être modélisés par une suite. L'introduction de la notion de suite peut ainsi s'appuyer sur ces situations concrètes en exploitant largement, dans des registres différents, les activités algorithmiques et le tableur qui favorisent la compréhension de la notation indicielle.
2. 1. Second degré
Contenus
  • Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux.
  • Équation du second degré, discriminant.
  • Signe du trinôme.
Capacités attendues
  • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d'une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d'un problème : développée, factorisée, canonique.
2. 2. Étude de fonctions
Contenus
  • Fonctions de référence : x \mapsto \sqrt{x} et x \mapsto| x| .
  • Sens de variation des fonctions u + k, \lambda u, \sqrt{u}, \frac{1}{u}, la fonction u étant connue, k étant une fonction constante et \lambda un réel.
Capacités attendues
  • Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.
  • Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0;\,+\infty[
  • Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x \mapsto x, x \mapsto x^{2} et x \mapsto \sqrt{x}.
  • Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.
2. 3. Dérivation
Contenus
  • Nombre dérivé d'une fonction en un point.
  • Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point.
  • Fonction dérivée.
  • Dérivée des fonctions usuelles : x \mapsto \sqrt{x}, x \mapsto \frac{1}{u} et x \mapsto x^{n}, (n entier naturel non nul).
  • Dérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient.
  • Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.
  • Extremum d'une fonction.
Capacités attendues
  • Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.
  • Calculer la dérivée de fonctions.
  • Exploiter le sens de variation pour l'obtention d'inégalités.
2. 4. Suites
Contenus
  • Modes de génération d'une suite numérique.
  • Suites arithmétiques et suites géométriques.
  • Sens de variation d'une suite numérique.
  • Approche de la notion de limite d'une suite à partir d'exemples.
Capacités attendues
  • Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites.
  • Mettre en œuvre des algorithmes permettant : d'obtenir une liste de termes d'une suite ; de calculer un terme de rang donné.
  • Établir et connaître les formules donnant 1+2+...+n et 1+q+...+q^{n}
  • Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite.

3. Géométrie

L'objectif est de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances et d'angles, la démonstration d'alignement, de parallélisme ou d'orthogonalité.
L'outil nouveau est le produit scalaire, dont il importe que les élèves sachent choisir la forme la mieux adaptée au problème envisagé.
L'introduction de cette notion implique un travail sur le calcul vectoriel non repéré et la trigonométrie.
La géométrie dans l'espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l'analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d'optimisation.
3. 1. Géométrie plane
Contenus
  • Condition de colinéarité de deux vecteurs : xy'-yx'=0.
  • Vecteur directeur d'une droite.
  • Équation cartésienne d'une droite.
  • Expression d'un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.
Capacités attendues
  • Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.
  • Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point.
  • Déterminer un vecteur directeur d'une droite définie par une équation cartésienne.
  • Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.
3. 2. Trigonométrie
Contenus
  • Cercle trigonométrique.
  • Radian.
  • Mesure d'un angle orienté, mesure principale.
Capacités attendues
  • Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ; résoudre dans Ensemble R les équations d'inconnue x : cos\ x = cos\ a et sin\ x = sin\ a
3. 3. Produit scalaire dans le plan
Contenus
  • Définition, propriétés.
  • Vecteur normal à une droite.
  • Applications du produit scalaire : calculs d'angles et de longueurs ; formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus.
Capacités attendues
  • Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : projection orthogonale ; analytiquement ; à l'aide des normes et d'un angle ; à l'aide des normes.
  • Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème.
  • Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.
  • Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
  • Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
  • Démontrer que : \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

4. Statistiques et probabilités

L'étude et la comparaison de séries statistiques menées en classe de seconde se poursuivent avec la mise en place de nouveaux outils dans l'analyse de données. L'objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées (issues, par exemple, de fichiers mis à disposition par l'Insee).
La notion de loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de modéliser des situations aléatoires, d'en proposer un traitement probabiliste et de justifier certains faits observés expérimentalement en classe de seconde.
L'utilisation des arbres pondérés est développée pour modéliser la répétition d'expériences identiques et indépendantes. Elle est restreinte à ce cadre afin d'éviter toute confusion avec des situations relevant des probabilités conditionnelles.
Dans le cas particulier d'expériences identiques et indépendantes à deux issues, on introduit la loi binomiale. En s'appuyant sur cette loi, on poursuit la formation des élèves dans le domaine de l'échantillonnage.
4. 1. Statistique descriptive, analyse de données
Contenus
  • Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type.
  • Diagramme en boîte.
Capacités attendues
  • Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique  (moyenne, écart-type) et (médiane, écart interquartile).
  • Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice.
4. 2. Probabilités
Contenus
  • Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart-type.
  • Modèle de la répétition d'expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues.
  • Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
  • Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès).
  • Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.
  • Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale.
Capacités attendues
  • Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire.
  • Interpréter l'espérance comme valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de répétitions.
  • Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.
  • Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d'une variable aléatoire associée à une telle situation.
  • Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
  • Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.
  • Représenter graphiquement la loi binomiale
  • Utiliser l'espérance d'une loi binomiale dans des contextes variés
4. 3. Échantillonnage
Contenus
  • Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence.
Capacités attendues
  • Exploiter l'intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l'aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

5. Algorithmique

En seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal.
Il s'agit d'apprendre :
  • à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;
  • en réaliser quelques-uns à l'aide d'un tableur ou d'un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ;
  • à interpréter des algorithmes plus complexes.
L'algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (algèbre et analyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. À l'occasion de l'écriture d'algorithmes et de programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.
5. 1. Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables :
  • d'écrire une formule permettant un calcul ;
  • d'écrire un programme calculant et donnant la valeur d'une fonction ;
  • ainsi que les instructions d'entrées et sorties nécessaires au traitement.
5. 2. Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables de :
  • programmer un calcul itératif, le nombre d'itérations étant donné ;
  • programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.
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