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Suites géométriques et croissance exponentielle

On place un capital de 1 000 € à intérêts composés à un taux annuel de 4 % : il n'est pas difficile de calculer la somme disponible au bout d'un an ou deux.
Mais comment calculer directement la somme disponible au bout de dix ans ? Ou comment déterminer le nombre d'années nécessaire pour doubler le capital initial ?
L'exemple cité ci-dessus est un phénomène à croissance exponentielle. Il se modélise à l'aide d'une suite géométrique.
1. Comment calculer le terme général d'une suite géométrique ?
• Une suite (un) est dite géométrique s'il existe un réel q appelé raison de la suite tel que, pour tout entier n : u_{n + 1} = q \times u_n.
De façon générale, une suite (un) est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant.
• Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Pour tout entier naturel non nul n, le terme général de la suite est donné par la relation : u_n = u_0 \times q^n.
Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p : u_n = u_p \times q^{n - p}.
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Comment reconnaître une suite géométrique ?
Si la suite est donnée par une relation de récurrence, où u_{n + 1} s'exprime en fonction de un, on essaie de se ramener à la forme ci-dessus : u_{n + 1} = q \times u_n.
• Si la suite est donnée par une relation du type un = f(n), on calcule le quotient de deux termes consécutifs \frac{{u_{n + 1}}}{{u_n }} (pour un non nul) et on montre qu'il est constant, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas de n ; ce nombre constant est la raison de la suite géométrique.
Exercice n°4Exercice n°5
3. Comment déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ?
• Il faut examiner le signe de la raison q et celui du premier terme u0 de la suite.
  • si q = 1, la suite est constante ;
  • si q < 0, la suite n'est pas monotone. Ses termes sont alternativement positifs et négatifs ;
  • dans les autres cas, on peut utiliser le tableau suivant :
 
0 < q < 1
q > 1
u0 > 0
strictement décroissante
strictement croissante
u0 < 0
strictement croissante
strictement décroissante

• Si l'on ne connaît pas la raison de la suite, on étudie le signe de un + 1 − un. Si, pour tout n, le signe de cette différence est positif, on dira que la suite est croissante ; s'il est négatif, on dira que la suite est décroissante.
Exercice n°6
4. Comment reconnaître une croissance exponentielle ?
• Par définition, lorsque u_0 > 0 et q > 1, on dira que la croissance de la suite (un) est exponentielle.
• Pour reconnaître une croissance exponentielle, lorsque la suite est présentée sous la forme d'une série de nombres, il faut vérifier que le quotient de deux termes consécutifs \frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} est toujours constant et positif.
• Graphiquement, une croissance exponentielle a l'allure de la courbe donnée ci-après. Mais seul le calcul du quotient des termes consécutifs permet de conclure.
Exercice n°7
5. Comment déterminer le rang n0 correspondant à un terme un0 donné ?
• Connaissant u0 et u_{n_0 }, on résout l'équation u_{n_0 } = u_0 \times q^{n_0 }, d'inconnue n0, par recherche exploratoire à la calculatrice. Pour cela, on utilise la fonction « table » de la calculatrice ou, à défaut, on teste différentes valeurs probables.
6. Comment représenter graphiquement une suite géométrique ?
On place, dans un repère correctement choisi, les points de coordonnées (0 ; u0), (1 ; u1), (2 ; u2), …
Par exemple, si u_0 = 10 et si la raison est 1,5, on obtient le graphique ci-dessous.
7. Comment calculer les premiers termes d'une suite géométrique avec un tableur ?
On peut s'inspirer de l'exemple ci-dessous représentant un extrait de feuille de calcul.
Il est important de noter que $B$1 est la référence absolue à la cellule B1 qui contient la raison. Ainsi, cette référence est invariable par copier-glisser.
À retenir
• Une suite géométrique (un) de raison q peut être définie par la relation de récurrence : u_{n + 1} = q \times u_n ou par l'expression de son terme général : u_n = u_p \times q^{n - p}.
• Le premier terme u0 étant strictement positif, la suite géométrique (un) est strictement croissante si q > 1 et strictement décroissante si 0 < q < 1.
• La croissance d'une suite de nombres positifs sera dite exponentielle si les coefficients multiplicatifs permettant de passer d'un terme au suivant sont égaux et strictement supérieurs à 1.
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