Équations et inéquations du second degré

Beaucoup d'équations du second degré se résolvent facilement, il suffit de les présenter sous forme d'un produit de facteurs égal à 0. L'application de la règle : « un produit de facteurs est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul » permet de connaître les solutions.
Mais comment peut-on savoir qu'une équation n'a pas de solution et n'est donc pas factorisable ? Et si des solutions existent, comment peut-on les déterminer sans factorisation ? Des formules permettent de répondre à ces questions. Il faut bien les connaître pour pouvoir les appliquer sans faire d'erreur de calcul.
Il ne faut pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une parabole. De la position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, on peut déduire si la fonction s'annule et quels sont les intervalles où son signe est constant.
1. Comment détermine-t-on le nombre de solutions d'une équation du second degré ?
• Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écriture de la forme : ax^2 + bx + c = 0.
On calcule alors le discriminant Δ (delta) : \Delta = b^2 - 4ac.
Trois cas peuvent se produire :
  • si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution ;
  • si Δ = 0, l'équation a une solution ;
  • si Δ > 0, l'équation a deux solutions.
Exercice n°1
2. Comment calcule-t-on les solutions d'une équation du second degré lorsqu'elles existent ?
• Si l'on sait factoriser le membre de gauche de l'équation, on cherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs.
• Si l'on ne sait pas factoriser, les solutions sont données par les formules suivantes :
x_1 = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} ;
x_2 = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.
La forme factorisée de l'équation ax^2 + bx + c = 0 s'écrit alors a\left( {x - x_{1} } \right)\left( {x - x_2 } \right) = 0.
Remarque
Si \Delta = 0, la solution unique est : x_1 = \frac{{ - b}}{{2a}}.
La forme factorisée s'écrit alors : a\left( {x - x_{1} } \right)^2.
Exercice n°2
3. Quel algorithme pour résoudre une équation du second degré ?
Algorithme
Variables a, b, c , D, x, y : nombres réels
Début
Lire a, b, c
D \leftarrow b2 −4ac
Écrire D
Si D < 0 Alors
Écrire « Pas de solution »
Sinon
x\,\leftarrow\,(-b\,-\,\sqrt{D})/(2a)
Écrire x
y\,\leftarrow\,(-b\,+\,\sqrt{D})/(2a)
Écrire y
Fin Si
Fin
Sur TI 82
Sur Graph 25
Input A
A
Input B
B
Input C
C
B2 − 4*A*C Sto D
B2 − 4*A*C  \rightarrow D \blacklozenge
Disp D
If D < 0
If D < 0
Then “PAS DE SOLUTION“
Then
Else (−B −\sqrt{D} )/(2A) \rightarrow X\blacklozenge
Disp “PAS DE SOLUTION”
(−B +\sqrt{D})/(2A) \rightarrow Y\blacklozenge
Else (−B − \sqrt{D})/(2A) \rightarrow X
Ifend
Disp X

(-B\,+\,\sqrt{D})/(2A)\,\rightarrow\,Y

Disp Y

End


4. Comment résoudre graphiquement une équation du second degré ?
La parabole d'équation y = ax^{2} + bx + c peut couper l'axe des abscisses en un point, deux points ou pas du tout. Les abscisses des points d'intersection, lorsqu'ils existent, sont les solutions de l'équation ax^2 + bx + c = 0.
Exercice n°4
5. Comment connaître le signe d'une fonction du second degré ?
• Le signe d'une fonction du second degré f\left( x \right) = ax^{2} + bx + c dépend du signe de a et du signe du discriminant Δ.
a < 0 et Δ< 0
a < 0 et Δ= 0
a < 0 et Δ> 0
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
a > 0 et Δ< 0
a > 0 et Δ= 0
a > 0 et Δ> 0
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
Équations et inéquations du second degré - illustration 1

• Si \Delta \le 0, alors f(x) est du signe de a.
Si Δ> 0, alors f(x) est :
  • du signe de a à l'extérieur des racines x1 et x2 (c'est-à-dire sur les intervalles ]- \infty~;~x_1] et [x_2~;~+ \infty[, si x_1 \le x_2) ;
  • du signe opposé à celui de a à l'intérieur des racines (sur l'intervalle [x_1~;~x_2]).
Exercice n°5
6. Comment résoudre une inéquation du second degré ?
On transpose d'abord tous les termes de l'inéquation dans un seul membre pour obtenir une écriture de la forme ax^{2} + bx + c \le 0 ou de la forme ax^{2} + bx + c \ge 0.
On calcule ensuite le discriminant Δ (Δ = b2 − 4ac) :
  • si \Delta \le 0 alors ax^{2} + bx + c est du signe de a ;
  • si Δ > 0 alors ax^{2} + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines x1 et x2, et du signe opposé à celui de a à l'intérieur des racines x1 et x2.
Exercice n°6
À retenir
• Résoudre une équation du second degré ax^2 + bx + c = 0 c'est, sauf factorisation évidente, appliquer des formules : formule du discriminant et formules des solutions éventuelles. Ces formules sont sujettes à erreurs de calcul. Pour les éviter, on écrira à part les valeurs de a, de b et de c et on notera entre parenthèses les coefficients négatifs du discriminant.
• En interprétant la position de la parabole d'équation y = ax^{2} + bx + c par rapport à l'axe des abscisses, on vérifie graphiquement le nombre de solutions et leurs valeurs approchées éventuelles. De là, on peut déduire les ensembles solutions des inéquations ax^{2} + bx + c \le 0 ou ax^{2} + bx + c \ge 0.
L'équation x^{2} = x + 1 :
Cochez la bonne réponse.
n'a aucune solution.
a une seule solution.
a deux solutions.
L'équation équivaut à x^{2} - x - 1 = 0.
Donc le discriminant se calcule pour : a~=~1~;~b~=~-1~;~c~=~-1.
\Delta = b^{2} - 4ac = \left( { - 1} \right)^{2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5
Le discriminant est strictement positif donc l'équation a deux solutions.
Dans quel cas le calcul du discriminant est-il indispensable pour calculer les solutions de l'équation ?
Cochez la bonne réponse.
2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0
x^{2} + x = 1
x^{2} = 2x - 1
L'équation x^{2} + x = 1 est équivalente à x^{2} + x - 1 = 0. La factorisation du membre de gauche n'est pas immédiate, car ce n'est pas un développement remarquable.
Pour quelles valeurs de A, B et C lit-on 49 ; −2 ; 1,5 ?
Cochez la bonne réponse.
A = 1 ; B = 5 ; C = −6
A = 2 ; B = 9 ; C = 4
A = 2 ; B = 1 ; C = −6
On écrit successivement les valeurs 2, 1 et −6.
(Dans les trois cas le discriminant est égal à 49.)
La courbe ci-dessous est la représentation de la parabole d'équation :
y = - x^{2} + x - 2.
Équations et inéquations du second degré - illustration 1
De cette représentation graphique, on déduit que l'équation - x^2 + x - 2 = 0 :
Cochez la bonne réponse.
n'a aucune solution.
a une solution.
a deux solutions.
La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation n'a pas de solution.
La fonction f\left( x \right) = x^{2} + x - 2 est positive sur :
Cochez la bonne réponse.
]-\infty~;~- 2] \cup [1~;~+\infty[
]-\infty~;~+\infty[
[- 2 ; 1]
• L'équation a deux solutions 1 et −2 car f se factorise en (x + 2)(x - 1) et :
f\left( 1 \right) = 1 + 1 - 2 = 0 ;
f\left( { - 2} \right) = 4 - 2 - 2 = 0.
• La fonction f est du signe de a = 1 à l'extérieur de ses deux racines 1 et −2, donc positive sur l'ensemble S~=~]-\infty~;~-2] \cup [1~;~+\infty[.
L'inéquation - 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 a pour ensemble de solutions :
Cochez la bonne réponse.
S = \{- 1 ; 3\}
S = [- 1 ; 3]
S = ]-\infty ; - 1] \cup [3 ; +\infty[
L'équation - 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 a pour ensemble de solutions S = \{-1 ; 3\}.
Comme le coefficient de x2 est négatif (a = - 2), le produit de facteurs - 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) est négatif à l'extérieur des racines −1 et 3.