Fonctions de références et opérations

En première ES, deux nouvelles fonctions de référence sont au programme : racine carrée et cube.
Comme pour les fonctions linéaires, affines, carré et inverse, il faut mémoriser leur ensemble de définition, leur tableau de variation et leur représentation graphique.
En composant ces fonctions de référence on définit d'autres fonctions, dont on peut déduire le tableau de variation.
La composition est l'une des opérations sur les fonctions. Il en existe d'autres : la somme, la différence, le produit, le quotient, l'ajout ou le produit par une constante réelle.
1. Quelles sont les caractéristiques de la fonction racine carrée ?
Ensemble de définition  : La fonction racine carrée x \stackrel{f}{\longrightarrow} \sqrt{x} est définie sur l'intervalle [0\,;\,+\infty[.
Sens de variation :
On a \sqrt{b}\,-\,\sqrt{a}\,=\,\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{(\sqrt{b}\,+\,\sqrt{a})}\,=\,\frac{b\,-\,a}{\sqrt{b}\,+\,\sqrt{a}}
Donc, si 0 inférieur ou égal a < b alors \frac{b\,-\,a}{\sqrt{b}\,+\,\sqrt{a}}\,>\,0, d'où f(a) < f(b).
La fonction racine carrée conserve l'ordre, elle est strictement monotone, strictement croissante.
Représentation graphique  :
x
0
0,5
1
2
\sqrt{x}
0
0,707 …
1
1,414 …

Fonctions de références et opérations - illustration 1
2. Quelles sont les caractéristiques de la fonction cube ?
Ensemble de définition  : La fonction x\stackrel{f}{\longrightarrow}x^{3} cube est définie sur D\,=\,]-\infty;\,+\infty[.
Sens de variation  :
On a a^{3}\,-\,b^{3}\,=\,(a\,-\,b)(a^{2}\,+\,ab\,+\,b^{2}), donc si a\,<\,b\,\le\,0 ou si 0\,\le\,a\,<\,b le premier facteur du second terme de l'égalité est négatif et le second est positif, soit a^{3}\,-\,b^{3}<\ 0, soit f(a)  <   f(b).
La fonction cube ne change pas l'ordre sur les intervalles ]-\infty\,; 0] et [0\,;\,+\infty[, elle est donc strictement croissante sur l'intervalle ]\infty\,;\,+\infty[.
Représentation graphique  :
Pour x\,\neq\,0, on a f(−x) = −f(x). La cubique représentant la fonction cube est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.
x
0
0,5
1
1,5
2
x^{3}
0
0,125 …
1
3,375
8

Fonctions de références et opérations - illustration 2
3. Comment déduire la représentation graphique des composées de la fonction  f et de la fonction « ajouter un réel  k  » de la représentation graphique de la fonction  f  ?
Dans le repère (\rm{O} ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}), la courbe représentant la fonction x \mapsto{} f(x)~+~k se déduit de la représentation graphique de la fonction  f par la translation de vecteur k \times \overrightarrow{j}.
Fonctions de références et opérations - illustration 3
Dans le repère (\rm{O} ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}), la courbe représentant la fonction x \mapsto{} f(x~+~k) se déduit de la représentation graphique de la fonction f par la translation de vecteur - k \times \overrightarrow{i}.
Fonctions de références et opérations - illustration 4
4. Comment définir la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions données ?
Si f est une fonction définie sur un intervalle  I et  g une fonction définie sur un intervalle  J, alors la fonction somme de  f et  g notée f + g, la fonction différence f - g, la fonction produit f\times{}g sont définies sur l'intervalle I\cap{}J (intersection des intervalles  I et  J) respectivement par :
(f  +  g)(x) =  f(x) +  g(x) ;
(f - g)(x)=f(x) - g(x)  ;
(f\times{}g)(x)=f(x)\times{}g(x)  .
La fonction quotient \frac{f}{g} est définie par (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}  , sur l'intervalle I\cap{}J privé des valeurs pour lesquelles la fonction  g s'annule.
Exercice n°7
À retenir
Les fonctions racine carrée et cube sont strictement croissantes. La première sur [0\,;\,+\infty[, la seconde sur R.
Sur [0\,;\,+\infty[, le passage à la racine carrée ou au cube conserve donc l'ordre.
Sur ]-\infty;\,0] le passage au cube conserve l'ordre.
On définit la fonction somme, produit, différence ou quotient de deux fonctions comme la fonction qui à  x associe la somme, le produit, la différence ou le quotient des images de  x par chacune des fonctions.
On déduit la représentation graphique des fonctions x \mapsto{} f(x) + k et x \mapsto{} f(x+k) de celle de  f, par translation de vecteurs respectivement k\overrightarrow j et - k\overrightarrow i.
On a l'inégalité 0\,\le\,\sqrt{x}\,\le\,x\,\le\,x^{2} pour :
Cochez la bonne réponse.
x\in[0;\,+\infty[
x\in[0;\,1]
x\,\ge\,1
Représentons graphiquement les fonctions racine, identité et carré dans un même repère.
Fonctions de références et opérations - illustration 5
On observe que la parabole d'équation y\,=\,\sqrt{x} est au-dessous de la droite d'équation y\,=\,x, elle-même au-dessous de la parabole d'équation y\,=\,x^{2}, uniquement pour x\,\ge\,1
a et b sont deux nombres réels. On a 0\,\le\,a^{2}\,\le\,a^{3} pour :
Cochez la bonne réponse.
a\,\in\,]-\infty\,;\,+\infty[
-1\,\le\,a\,\le\,1
a\,\ge\,1
a^{3}\,-\,a^{2}\,=\,a^{2}(a\,-\,1).
Comme un carré est toujours positif, la différence est du signe de (a   −  1). C'est à dire positive pour a\,\ge\,1.
Soit les trois opérateurs : f_{1} : x \mapsto{} x^{2} ; f_{2}: x \mapsto{} 2x ; f_{3} : x \mapsto{} x + 2.
La fonction f : x \mapsto{} 2x^{2} + 2 est la composée de :
Cochez la bonne réponse.
f_2 suivie de f_3 suivie de f_1.
f_3 suivie de f_1, suivie de f_2.
f_1 suivie de f_2, suivie de f_3.
f : x\stackrel{f_1}{\longrightarrow}x^2 \stackrel{f_2}{\longrightarrow}2x^2 \stackrel{f_3}{\longrightarrow}2x^2+2.
Sur l'intervalle ]-\infty\,;\,0], la fonction x\,\stackrel{f}{\longrightarrow}\,\sqrt{2x^{2}\,+\,1} est :
Cochez la bonne réponse.
non monotone.
strictement décroissante.
strictement croissante.
On peut décomposer la fonction f en trois fonctions de référence : la fonction carré x\,\rightarrow\,x^{2}, strictement décroissante pour x   inférieur ou égal  0, la fonction affine de coefficient directeur positif x\,\rightarrow\,2x\,+\,1 et la fonction racine, strictement croissantes.
x\,\stackrel{carr\acute{e}}{\longrightarrow}\,x^{2}\,\stackrel{affine}{\longrightarrow}>2x^{2}\,+\,1\stackrel{racine}{\longrightarrow}\,\sqrt{2x^{2}\,+\,1}.
Si a\,<\,b\,\le\,0 alors :
a^{2}\,>\,b^{2}\,\ge\,0
2a^{2}\,+\,1\,>\,2b^{2}\,+\,1\,\ge\,1
\sqrt{2a^{2}\,+\,1}\,>\,\sqrt{2b^{2}\,+\,1}\ge\,1.
Donc f(a)  >   f(bsupérieur ou égal  1.
Sur l'intervalle ]-\infty\,;\,0], la fonction f change l'ordre, elle est donc strictement décroissante.
Sur l'intervalle [0\,;\,+\infty[, la fonction x\stackrel{f}{\longrightarrow}\frac{1}{2x^{3}\,+\,1}est :
Cochez la bonne réponse.
non monotone.
strictement décroissante.
strictement croissante.
On peut décomposer la fonction f en trois fonctions de référence : la fonction cube x\,\rightarrow\,x^{3}, strictement croissante sur [0\,;\,+\infty[, la fonction affine de coefficient directeur positif x\,\rightarrow\,2x\,+\,1, strictement croissante, et la fonction inverse strictement décroissante sur ]0\,;\,+\infty[,.
x\stackrel{cube}{\longrightarrow}>\,x^{3}\stackrel{affine}{\longrightarrow}2x^{3}\,+\,1\stackrel{inverse}{\longrightarrow}>\frac{1}{x^{3\,+\,1}}.
Si 0\,\le\,a\,<\,b alors :
0\,\le\,a^{3}\,\le\,b^{3}
1\,\le\,2a^{3}\,+\,1\,\le\,2b^{3}\,+\,1
1\,\ge\,\frac{1}{2a^{3}\,+\,1}\,\ge\,\frac{1}{2b^{3}\,+\,1}.
Donc 1  supérieur ou égal   f(a)  >   f(b).
Sur l'intervalle [0\,;\,+\infty[, la fonction f change l'ordre, elle est donc strictement décroissante.
(C) est la parabole d'équation y = x^{2}, dans le repère (\rm{O}~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}). Par la translation de vecteur \overrightarrow{j}, on obtient la parabole (C') d'équation :
Cochez la bonne réponse.
y = x^{2} +1
y = (x+1)^2
y = x^{2} -1
En déplaçant la parabole (C) d'une unité vers la haut, on augmente d'une unité chacune des images.
Fonctions de références et opérations - illustration 6
(C) est en orange et (C') est en bleu.
Soit trois fonctions f, g et h, définies sur Ensemble R par :
f(x) = x^{2} - 9 ; g(x) = x - 3 ; h(x)= x + 3.
Quelle est l'affirmation exacte ?
Cochez la bonne réponse.
f = g
g \times{} h = f
g = \frac{f}{h}
Les écritures des images sont équivalentes : (g\times{}f)(x) = g(x)\times{}f(x) = (x - 3 )(x + 3) = x^{2} - 9.
L'ensemble de définition est le même : Ensemble R(comme il n'y a pas de dénominateur, il n'y a pas de valeur interdite, ce qui n'est pas le cas pour \frac{f}{h}).