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Bénéfice d'un artisan

Énoncé

Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en produire plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet fabriqué est vendu.
Le coût de production de x dizaines d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction f, définie sur l'intervalle [0 ; 7]. Sa courbe représentative \mathcal{C} est donnée ci-dessous.
1. 
a) Par lecture graphique, donner le coût de production de 50 objets.
b) Par lecture graphique, donner le nombre d'objets produits pour un coût de 3 000 euros.
2. 
Chaque objet est vendu 80 euros. On note g(x) la recette obtenue par la vente de x dizaines d'objets, en milliers d'euros.
a) Justifier que g(x) = 0,8x.
b) Tracer dans le repère précédent la droite \mathcal{D} d'équation {y = 0,8x}.
c) Par lecture graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir x pour que l'artisan réalise un bénéfice.
3. 
On admet que la fonction f est définie, pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 7], par f(x) = 0,1x^{2} + 0,2x + 0,3.
Le bénéfice réalisé par la production et la vente de x dizaines d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par une fonction B définie sur l'intervalle [0 ; 7].
a) Montrer que B(x) = -0,1x^{2} + 0,6x - 0,3.
b) Calculer la dérivée B' de la fonction B.
c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Pour quel nombre d'objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximum ?

Corrigé

1. 
a) 
Le point (5 ; 3,8) appartient à la courbe. Donc pour 50 objets, on lit un coût de production de 3 800 euros.
b) Le point (4,3 ; 3) appartient à la courbe. Donc pour un coût de 3 000 euros, on lit qu'une production de 43 objets est nécessaire.
2. 
a) Recette = Prix unitaire × Nombre d'objets. Donc :
g(x) = 80 \times 10x \times \frac{1}{1\,000} ; g(x) = 0,8x.
b) Tableau de valeurs :
x
0
7
0,8x
0
5,6

Pour le tracé de \mathcal{D}, voir la représentation graphique précédente.
c) L'artisan réalise un bénéfice pour une production comprise entre 5 et 55 objets, car sur l'intervalle [0,5 ; 5,5], la courbe du coût est au-dessous de la droite de la recette.
3. 
a) Bénéfice = Recette − Coût.
B(x) = 0,8x - (0,1x^2 + 0,2x + 0,3)
B(x) = 0,8x - 0,1x^2 - 0,2x - 0,3
B(x) = -0,1x^2 + 0,6x - 0,3.
b) Calcul de B'(x) :
B'(x) = -0,1 \times 2x + 0,6
B'(x) = -0,2x + 0,6.
c) 
On étudie d'abord le signe de la dérivée B' :
B'(x) \le 0 équivaut à :
-0,2x + 0,6 \le 0
0,6 \le 0,2x
x \ge \frac{0,6}{0,2}
x \ge 3.
La dérivée est donc négative pour pour x \ge 3 et positive pour x \le 3.
D'où le tableau de variations de B :
Le bénéfice est maximum pour une production de 30 objets. Il est alors de 600 euros.
On vérifie que l'abscisse 3 correspond au plus grand segment vertical ayant une extrémité sur la courbe \mathcal{C} et l'autre sur la droite \mathcal{D}.
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