Polynésie, option CGRH, exercice 2, juin 2007

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On considère la série statistique chronologique ci-après :

Années x_i	1997	1998	1999	2000	2001
Emploi total en milliers y_i	22 223	22 479	22 672	23 261	23 759

Source INSEE, enquêtes emplois et comptes nationaux. Données de mars de chaque année.

1. Modélisation par un ajustement affine

La droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :
$y=385,4x-747\,535,8.$
On suppose que l'évolution se poursuit selon le modèle donné par l'ajustement affine.
À l'aide de cet ajustement affine, déterminer par le calcul le nombre de personnes en emploi total (en milliers) prévisible pour l'année 2003.

2. Modélisation par une suite géométrique

a) Calculer le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001, puis le taux d'évolution annuel moyen pour la même période (les réponses seront données sous la forme x % où x est arrondi à 10⁻³).

b) Le taux annuel moyen est proche de 1,68 %. On suppose que l'évolution suit le modèle donné par la suite géométrique (u_n) dont le premier terme est u₀ = 22 223 et dont la raison est 1,0168.

Recopier et compléter le tableau suivant :

Années	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Rang n	0	1	2	3	4	5	6
u_n	22 223						24 559

3. Comparaison des deux modélisations à la réalité

En fin de compte, le tableau statistique complet relatant le marché du travail s'avère être le suivant :

Années	1997	1998	1999	2000
Emploi total en milliers	22 223	22 479	22 672	23 261

Années	2001	2002	2003
Emploi total en milliers	23 759	23 942	24 347

a) Comparer la valeur trouvée pour l'année 2003 à l'aide de l'ajustement affine, avec la donnée réelle observée. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?

b) Comparer u₆ avec la donnée réelle de 2003. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?

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1. Pour 2003, on obtient :
$y=385,4\times 2\,003-747\,535,8$
$y=24\,420,4.$
En 2003, on peut prévoir 24 420 milliers d'emplois.

a) Taux d'évolution global de 1997 à 2001 :
$\frac{23\,759-22\,223}{22\,223}\times100\approx6,912\,\%$ .

Le taux d'évolution annuel moyen t est donné par :
$22\,223\times(1+t)^{4}=23\,759,$
soit $(1+t)^{4}=\frac{23\,759}{22\,223}\approx 1,069\,12$ ,
d'où $1+t\approx1,069\,12^{\frac{1}{4}}$ ,
soit $1+t\approx1,016\,85$ ,
$t\approx0,016\,85$ .
Le taux moyen annuel est de 1,685 %, arrondi à 10⁻³ près.

b) Tableau complété :

Années	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Rangs n	0	1	2	3	4	5	6
u_n	22 223	22 596	22 976	23 362	23 754	24 154	24 559

a) L'ajustement afine donne une bonne approximation de la valeur en 2003.
Le pourcentage d'erreur de la valeur trouvée par ajustement affine par rapport à la valeur réelle est de :
$\frac{24\,420-24\,347}{24\,347}\times100=0,2998...$ , soit 0,30 %.

b) Pour $u_{6}$ , le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur réelle est de :
$\frac{24\,559-24\,347}{24\,347}\times100=0,8707...$ , soit 0,87 %.

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