Mathématiques Terminale série STG : le programme officiel

1. Indications générales
2. Information chiffrée et suites numériques
3. Statistiques et probabilités
4. Fonctions numériques et applications

1. Indications générales

1. 1. Objectifs

• La formation en mathématiques est conçue pour favoriser la poursuite d'études supérieures dans les domaines du commerce, de la gestion, de l'informatique, de la communication, des sciences économiques et de l'administration. L'intention est d'assurer une bonne continuité avec, d'une part, le programme actuel de la classe de première et, d'autre part, les objectifs des sections de techniciens supérieurs et des instituts universitaires de technologie, tout en veillant à fournir les outils nécessaires pour suivre avec profit l'enseignement dispensé dans les autres disciplines.

• Les objectifs suivants sont prioritairement visés :

entraîner à la lecture active de l'information, à sa critique, à son traitement, en particulier en privilégiant les connaissances et les méthodes permettant des changements de registre (graphique, numérique, algébrique...) ;
former les élèves à l'activité scientifique par l'acquisition de méthodes d'observation, d'analyse critique et de déduction ;
développer les capacités de communication écrite et orale sous toutes les formes usuelles ;
promouvoir la cohérence de la formation des élèves en utilisant les liens entre les différentes parties du programme et en tissant les relations entre les mathématiques et les autres disciplines.

1. 2. Mathématiques et usage de l'informatique

L'emploi des calculatrices en mathématiques a pour objectif, non seulement d'effectuer des calculs, mais aussi d'alimenter le travail de recherche, de contrôler les résultats. Les élèves doivent savoir utiliser une calculatrice graphique dans les situations liées au programme de la classe. Cet emploi combine les capacités suivantes, qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles :

savoir effectuer les opérations sur les nombres, savoir comparer des nombres et savoir donner une valeur approchée à la précision attendue ;
savoir utiliser les touches des fonctions figurant au programme de la série ;
savoir tabuler les valeurs d'une fonction et représenter une fonction dans une fenêtre adaptée.

Un modèle de calculatrice avec écran graphique et comportant les fonctions statistiques à deux variables en vue de l'ensemble du cycle terminal permet de mettre en œuvre ces exigences. Certains modèles comportent des perfectionnements permettant le calcul formel ; ils sont inutiles pour le cycle terminal STG.
D'autre part, l'emploi en mathématiques des outils informatiques est désormais indispensable : utilisation d'ordinateurs par les élèves, utilisation en classe entière d'un micro-ordinateur équipé d'un système de vidéo-projection. Dans ce cadre, l'utilisation des divers logiciels pédagogiques ou scientifiques actuels (tableurs, grapheurs...) permet l'acquisition et l'application des notions devant être étudiées par la richesse et la variété des exemples qui peuvent être traités.
On veut souligner ici deux aspects du lien entre mathématiques et informatique :

il ne s'agit pas pour l'élève de devenir expert dans l'utilisation de tel ou tel logiciel, mais de savoir reconnaître certaines questions susceptibles d'être illustrées ou résolues grâce à l'ordinateur et de savoir interpréter les réponses qu'il fournit ; l'élève doit apprendre à situer et intégrer l'usage des outils informatiques dans une démarche scientifique ;
l'informatique facilite l'étude des suites et des fonctions, la résolution numérique d'équations et d'inéquations, les calculs statistiques et la pratique de la simulation.

1. 3. Contenu et spécialités

Deux programmes ont été élaborés pour la classe terminale, le premier pour les spécialités « mercatique », « comptabilité et finance des entreprises », « gestion des systèmes d'information », le second pour la spécialité « communication et gestion des ressources humaines ».
Dans le programme suivant, le symbole (*) signifie que cette partie du programme ne concerne pas la spécialité « communication et gestion des ressources humaines ».

2. Information chiffrée et suites numériques

Les outils de traitement des données numériques et de modélisation de situations discrètes simples sont complétés par l'introduction de la notion de moyenne géométrique, le calcul d'indices simples et d'approximations de taux d'évolution en liaison avec l'enseignement de l'analyse. Une première approche de la notion de limite est proposée dans le cas des suites géométriques.
Les connaissances acquises en classes de seconde et de première permettent d'aborder des situations plus complexes (étude de suites, optimisation sous contrainte) où le tableur et la calculatrice ont une place privilégiée par les possibilités d'investigation qu'ils permettent.
Des concepts introduits et étudiés dans les enseignements technologiques sont abordés ici d'un point de vue mathématique. Pour les taux d'évolution, des activités mettent en évidence la différence entre taux exact et taux approché. L'étude des suites géométriques est particulièrement approfondie en vue des applications au calcul financier. L'optimisation linéaire est une première étape vers les fonctions de plusieurs variables qui seront abordées après le baccalauréat. La cohérence des démarches des professeurs de mathématiques et d'économie-gestion permet un apprentissage plus solide.

2. 1. Taux d'évolution

2. 1. 1. Taux d'évolution moyen, moyenne géométrique

Trouver le taux moyen, connaissant le taux global.
Calculer la moyenne géométrique de plusieurs nombres réels positifs.

2. 1. 2. Indice simple en base 100

Calculer l'indice de y₂ par rapport à y₁ : $100 \frac{y_2}{y_1}$ , avec y₁ et y₂ nombres réels strictement positifs.
Passer de l'indice au taux d'évolution, et réciproquement.

2. 1. 3. Approximation d'un taux d'évolution

Pour un petit taux d'évolution t,

savoir que, pour deux évolutions successives au taux t, le taux d'évolution global peut être approché par 2t ;
savoir que le taux d'évolution réciproque peut être approché par − t.

2. 2. Suites arithmétiques et géométriques

2. 2. 1. Comparaison de suites

Dans le cadre de résolution de problèmes, comparer deux suites géométriques (à termes positifs), une suite géométrique et une suite arithmétique.
Exemples : intérêt simple/intérêt composé, taux équivalent/taux proportionnel.

2. 2. 2. Somme de termes consécutifs

Calculer la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique.
Exemples : emprunt à annuités constantes.

2. 2. 3. Sens de variation et limite d'une suite géométrique de raison positive et de premier terme positif **(*)**

Connaître, suivant sa raison, le sens de variation et la limite d'une suite géométrique de raison positive.

2. 3. Optimisation à deux variables **(*)**

2. 3. 1. Droites d'équation ax + by = c.

Représenter la droite d'équation ax + by = c.

2. 3. 2. Régionnement du plan

Caractériser analytiquement un demi-plan (par une inéquation du type ax + by > c ou ax + by c). Exemple : seuil de rentabilité à deux produits.
Résoudre graphiquement un système d'inéquations linéaires.
Caractériser une région polygonale convexe donnée.

2. 3. 3. Programmation linéaire

Résoudre graphiquement un problème qui conduit à maximiser ou minimiser une expression du type ax + by sous plusieurs contraintes linéaires.
Exemples : profit maximal, coût minimal.

3. Statistiques et probabilités

Le programme de statistique est un terrain pour des activités interdisciplinaires et la consolidation des techniques élémentaires de calcul : usage des fractions, des pourcentages, proportionnalité. Les statistiques à deux variables sont indispensables en économie et en gestion pour analyser, interpréter et prévoir.
Le programme de probabilités permet d'approfondir et de compléter les notions abordées en classe de première. Il se limite à des ensembles finis et à des situations ne comportant pas de difficultés techniques de dénombrement. Le conditionnement et l'indépendance sont introduits ; la notion de probabilité conditionnelle s'inscrit dans le prolongement de celle de fréquence conditionnelle introduite en classe de première. Les variables aléatoires ne sont pas au programme.

3. 1. Étude de séries de données statistiques quantitatives à deux variables

3. 1. 1. Nuage de points, point moyen

Associer un tableau de données à la suite (x_k, y_k), 1 k N où N est l'effectif de la population.
Représenter graphiquement un nuage de points et déterminer le point moyen.

3. 1. 2. Ajustement affine

Trouver une fonction affine qui exprime de façon approchée y en fonction de x.
Utiliser cette fonction pour interpoler ou extrapoler.

3. 1. 3. Séries chronologiques

Utiliser un ajustement affine pour faire une prévision.

3. 2. Conditionnement

3. 2. 1. Probabilité, sachant B, de A : $P_{B(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ si $P(B)\neq 0$

Déterminer P_B(A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés d'effectifs, cas de deux tirages successifs.
Déterminer $P(A\cap B)$ connaissant P_B(A) et P(B).
Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes.

3. 2. 2. Indépendance de deux événements

Caractériser l'indépendance par chacune des égalités :
P_B(A) = P(A), $P(A\cap B)=P(A) P(B)$ .
Démontrer ou utiliser l'indépendance de deux événements.

4. Fonctions numériques et applications

L'objectif est de résoudre des problèmes mettant en œuvre des fonctions et exploitant le plus largement possible des situations issues de l'économie ou de la gestion. Ainsi l'utilisation des exposants non entiers permet de calculer un taux d'évolution moyen et la dérivation permet de calculer un coût marginal.
Pour cela, d'une part on met en place le puissant outil qu'est la fonction dérivée, dont une approche a été faite en classe de première, d'autre part on élargit le champ des fonctions disponibles par l'introduction de la fonction logarithme népérien et des fonctions exponentielles.
Le tableur et la calculatrice restent des outils privilégiés pour conjecturer ou vérifier des résultats, tant au niveau numérique qu'au niveau graphique. (*) En particulier, la touche ln de la calculatrice peut permettre de conjecturer l'existence et les propriétés de la fonction logarithme népérien. Cette fonction peut permettre à son tour d'introduire simplement les exposants non entiers et les fonctions exponentielles.

4. 1. Fonction dérivée

4. 1. 1. Définition

Connaître les dérivées des fonctions de référence.

4. 1. 2. Calcul de fonctions dérivées

Dériver une somme, un produit, un quotient, une composée de deux fonctions.

4. 1. 3. Application à l'étude des variations

Déterminer les variations d'une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
Déterminer un extremum (pour résoudre des problèmes d'optimisation à une variable).

4. 2. Fonction logarithme népérien **(*)**

4. 2. 1. Définition par ln(1) = 0 et ln'(x)= $\frac{1}{x}$ pour tout x > 0

Dériver la fonction ln.

4. 2. 2. Sens de variation, signe, graphe

Savoir que ln(a) et ln(b) sont rangés dans le même ordre que a et b ; que ln(a) = ln(b) équivaut à a = b.

4. 2. 3. Transformation de produits en sommes

Utiliser l'identité ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ses conséquences : $\mathrm{ln}(\frac{a}{b})$ , $\mathrm{{ln}(a^n)}$ , $\mathrm{ln}(\sqrt{a})$ .

4. 3. Exposants réels

4. 3. 1. Définition de a^b par ln(a^b) = b ln(a) **(* Notation a^b)**

Utiliser les exposants, entiers ou non.

4. 3. 2. Propriétés des exposants

Savoir que les propriétés des exposants entiers s'étendent aux exposants non entiers.

4. 3. 3. Cas particuliers de l'exposant $\frac{1}{n}$

Utiliser la notation $a^{\frac{1}{n}}$ .

4. 3. 4. Équations et inéquations

Résoudre xⁿ = a.
Résoudre a^x = k, a^x < k, a^x > k (a et k strictement positifs donnés). (*)

4. 3. 5. Nombre e, défini par ln(e) = 1 **(*)**

Résoudre ln(x) = k, ln(x) < k, ln(x) > k.

4. 4. Fonctions exponentielles **(*)**

4. 4. 1. Fonction $x\mapsto e^x$ , notée exp : signe, dérivée, sens de variation, graphe.

Savoir que exp' = exp.

4. 4. 2. Fonctions $x\mapsto a^x$ , (a > 0)

Écrire a^x sous la forme e^xln(a).

1. Indications générales
2. Information chiffrée et suites numériques
3. Statistiques et probabilités
4. Fonctions numériques et applications

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