Assistance scolaire personnalisée

un partenariat rue des écoles Maif
Mardi 25 novembre 2014. Bonjour S'inscrire gratuitement       > Se connecter
icone FicheFiche
ExercicesExercices
Icône de rechercheRechercher

Probabilités conditionnelles

Si je jette un dé non truqué, la probabilité d'obtenir un 6 est de \frac{1}{6}. Si je lance ce même dé, qu'une tierce personne me cache le résultat et me dise « j'ai vu que le résultat est pair », la probabilité de l'événement « avoir un 6 » devient \frac{1}{3}. J'ai tenu compte de l'information donnée. On dit que la probabilité d'obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est \frac{1}{3} ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle.
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
• Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les résultats possibles se réduisent à ceux qui réalisent A ;
– les résultats qui réalisent B se réduisent à ceux qui réalisent à la fois A et B.
• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) ou P(B/A), est alors \frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A}.
Or : \frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A} =\frac{\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,total\,de\,r\acute{e}sultats}}}{\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A}{\mathrm{nombre\,total\,de\,r\acute{e}sultats}}} ;
\frac{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,de\,r\acute{e}alisations\,de}\,A} =\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.
On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.
• On retrouve, sur les probabilités conditionnelles, les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B) ;  P_{A}(B\cup{C})=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cap{C}).
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Comment passer de PA(B) à PB(A) ?
• Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît P A (B) et on veut trouver soit P(A\cap{B}), soit P B (A).
• Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
On a : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)} d'où P(A\cap{B})=P(A)P_{A}(B).
Mais on a aussi : P_{B}(A)=\frac{P(B\cap{A})}{P(B)} d'où P(B\cap{A})=P(B)P_{B}(A).
Et comme B\cap{A}=A\cap{B}, on obtient : P(A\cap{B})=P(B)P_{B}(A)=P(A)P_{A}(B).
Ce qui nous donne au final : P_{B}(A)=\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(B)}.
Exercice n°4
3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
• Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.
On doit donc avoir : PA(B) = P(B).
C'est-à-dire \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}=P(B)\Leftrightarrow{P(A\cap{B})}=P(A)P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
\overline{A} et B sont indépendants ;
\overline{A} et \overline{B} sont indépendants ;
A et \overline{B} sont indépendants.
• La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :
– dans certains cas, on dira : il est évident que A et B sont indépendants donc P(A\cap{B})=P(A)P(B). Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;
– dans d'autres cas, on dira : P(A\cap{B})=P(A)P(B), donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?
Remarque
Attention à ne pas confondre :
– A et B incompatibles (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=0 ;
– A et B indépendants (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=P(A)P(B)).
Exercice n°5Exercice n°6
4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
• La formule des probabilités totales repose sur l'existence d'une partition.
Les événements B_{1},B_{2},\ldots,B_{n} réalisent une partition de l'univers \Omega si, pour tous nombres i et j compris entre 1 et n :
B_{i}\neq{\oslash} ;
B_{i}\cap{B_{j}}=\oslash, pour i\neq{j} ;
B_{1}\cup{B_{2}}\cup{\cdots}\cup{B_{n}}=\Omega.
Cas particulier important : si B est un événement avec P(B)\neq{0} et P(B)\neq{1}, alors B, \overline{B} forment une partition.
• Ayant une partition B1, B2, …, B n de l'univers Ω, on considère un événement A quelconque. On peut écrire que les événements élémentaires qui réalisent A sont les événements élémentaires de B1 qui réalisent A « union » les événements élémentaires de B 2 qui réalisent A « union » … « union » les événements élémentaires de B n qui réalisent A.
C'est-à-dire que : A=(A\cap{B_{1}})\cup(A\cap{B_{2}})\cup{\cdots}\cup(A\cap{B_{n}}).
• D'où la première expression de la formule des probabilités totales :
P(A)=P(A\cap{B_{1}})+P(A\cap{B_{2}})+{\cdots}+P(A\cap{B_{n}}).
Et comme P(A\cap{B_{i}})=P(B_{i})P_{B_{i}}(A), on obtient la seconde expression de la formule des probabilités totales :
P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+{\cdots}\,P(B_{n})P_{B_{n}}(A).
Exercice n°7Exercice n°8
À retenir
• Soit A et B deux événements de probabilités non nulles. La probabilité de l'événement A, sachant que l'événement B est réalisé, est appelée probabilité conditionnelle. Elle est définie par : P_{B}(A)=\frac{P(B\cap{A})}{P(B)}.
• Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si : P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• À partir d'une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.
© rue des écoles. Tous droits réservés.
Partager
Partager sur Tweeter