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Divisibilité

La « théorie des nombres » ou « arithmétique » est à la fois la branche la plus simple et la plus complexe des mathématiques. Souvent, le problème peut être compris par un enfant, alors que les outils mis en œuvre pour le résoudre font appel aux résultats les plus sophistiqués. Prenons par exemple le théorème de Fermat qui prétend que toute équation du type n'a pas de solution entière pour . Il a fallu plus de 300 ans pour le démontrer, ce que fit Andrew Wiles le 23 juin 1993 en utilisant les fonctions elliptiques.
Le programme de terminale se limite modestement à aborder les premières marches de cette théorie par le biais de deux notions essentielles : la divisibilité et les nombres premiers.
1. Comment déterminer un diviseur ou un multiple d'un nombre ?
• On dit qu'un entier relatif a est un multiple d'un entier relatif b si et seulement si il existe un entier relatif q tel que a = bq.
On dit aussi, lorsque ces nombres sont non nuls, que b est un diviseur de a ou que b divise a.
Autrement dit, pour a \neq0, b \neq0 : a multiple de b \Longleftrightarrow b diviseur de a \Longleftrightarrow il existe un entier relatif q tel que a = bq.
• Soit a un entier relatif, les multiples de a dans Ensemble Z sont :
−(k + 1)a, −ka, …, −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a, …, ka, (k + 1)a, avec k \in Ensemble N
Cas particuliers :
0 n'a pas d'autre multiple que lui même, cependant 0 est multiple de tout entier a ;
a = 1 : l'ensemble des multiples de 1 est Ensemble Z.
Exercice n°1
2. Comment reconnaître un diviseur ?
• La relation « a divise b » possède un certain nombre de propriétés. Retenons les cinq propriétés suivantes : a, 1, −1, −a divisent a ;
a divise b et b divise a  \Longleftrightarrow a = b ou a = −b ;
si a divise b et b divise c alors a divise c ;
si a divise b et c alors a divise b + c et b − c et plus généralement a divise bu + cv, où u et v sont des entiers relatifs.
• Nous comptons et écrivons les nombres dans un système de numération de position en base 10, c'est à dire que nous décomposons tout nombre en une combinaison de puissances de 10 dont les coefficients sont un des 10 chiffres de 0 à 9 (le nombre 6739 est le nombre 9 + 3 × 101 + 7 × 102 + 6 × 103). En utilisant cette décomposition, on démontre les critères de divisibilité en base 10 :
  • un nombre est divisible par 2 si et seulement si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
  • un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
  • un nombre est divisible par 4 si le nombre formé de et seulement si ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
  • un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5 ;
  • un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exercice n°2
3. Comment effectuer une division euclidienne ?
• Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tels que : a = bq + r avec 0 inférieur ou égal r < b.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est déterminer ces nombres q et r.
a est appelé dividende, b diviseur, q quotient, r reste de la division euclidienne.
Remarque : la calculatrice peut aider à déterminer ce quotient et ce reste. Le quotient q est la partie entière du quotient \frac {a} {b} puis, pour obtenir le reste, on calcule a − bq.
• Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier supérieur ou égal à 2, on dit que a et b sont congrus modulo n, et l'on note a \equiv b [n], lorsque a − b est un multiple de n, c'est-à-dire lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
En reprenant les propriétés de la relation « a divise b », on obtient :
si a \equiv b [n] et a' \equiv b' [n], alors a + a'\equiv b + b' [n], aa' \equiv bb' [n] et a − a' \equiv b − b' [n].
Exercice n°3
4. Comment montrer qu'un entier naturel n est premier ?
• Un entier naturel n est dit premier si n > 1 et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et n.
Remarque : soit un entier naturel non premier n > 1, son plus petit diviseur différent de 1 est un nombre premier.
Théorème : il existe une infinité de nombres premiers.
Comment montrer qu'un entier naturel n est premier ?
1) On vérifie d'abord que n ne satisfait pas à un de nos critères de divisibilité. Si c'était le cas, il serait multiple d'un nombre différent de 1 et ne serait pas premier.
2) On divise n par tous les nombres premiers dont le carré est inférieur à n :
  • si pour une de ces divisions le reste est nul, alors n n'est pas premier ;
  • si n n'est divisible par aucun de ces nombres, alors n est premier.
Remarque : il faut évidemment, pour appliquer cela, connaître les plus petits nombres premiers. On les obtient à l'aide du crible d'Ératosthène. Ce sont les nombres :
2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83 89  97…
Exercice n°4Exercice n°5
5. Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?
• Tout entier naturel non premier et différent de 1 est décomposable en un produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique.
C'est à dire si n est un entier non premier n > 1, on a :
n=p_1^{a_1} p_2^{a_2}...p_n^{a_n}, avec pi nombre premier et ai entier naturel non nul, pour 1 inférieur ou égal i inférieur ou égal n.
• Soit a et b deux entiers supérieurs à 1. Pour que b soit un diviseur de a, il faut et il suffit que tous les facteurs premiers de sa décomposition apparaissent dans celle de a avec des exposants supérieurs ou égaux.
Exercice n°6
À retenir
a multiple de b \Longleftrightarrow b diviseur de a \Longleftrightarrow il existe un entier relatif q tel que a = bq.
• Si a divise b et c alors a divise b + c et b − c et plus généralement a divise bu + cv, où u et v sont des entiers relatifs.
• Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tels que :
a = bq + r, avec 0 inférieur ou égal r b.
• Un entier naturel n est dit premier si n > 1 et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et n.
n > 1, n non premier, on a :
n=p_1^{a_1} p_2^{a_2}...p_n^{a_n}, avec pi nombre premier et ai entier naturel non nul, pour 1 inférieur ou égal i inférieur ou égaln.
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