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Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3

Énoncé

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle un le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013 + n). On donne u0 = 42.
1 Justifier que, pour tout entier naturel n, on a u_{n+1}\,=\,u_{n}\,\times\,0,95\,+\,6.
2 On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
3 À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle vn le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013 + n).
1 Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
2 On admet que v_{n+1}\,=\,v_{n}\,\times\,0,95\,+\,4 avec v0 = 42.
On considère la suite (wn) définie, pour tout entier n, par w_{n}=v_n-80.
Montrer que (wn) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme W0.
3 
On admet que, pour tout entier naturel n\,:\,w_{n}\,=\,-38\,\times\,(0,95)^{n}.
a) Déterminer la limite de (wn).
b) En déduire la limite de (vn).
c) Interpréter ce résultat.

Corrigé

Partie A
1 
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5 % est 1 − \frac{5}{100} = 0,95.
Après la suppression de 5 % des ouvrages dans l'année « 2013 + n », n \in \mathbb{N}, le nombre d'ouvrages est, en milliers, de 0,95 × un.
Après l'achat de 6 000 ouvrages neufs dans l'année « 2013 + n », le nombre d'ouvrages au 1er janvier de l'année « 2013 + n + 1 » est, en milliers, de 0,95 × un + 6 = un+1.
Donc, pour tout entier naturel n : un+1 = 0,95 × un + 6.
2 
La variable U calcule les valeurs un successives en partant de u0 = 42, et la variable N correspond à la valeur n associée.
L'algorithme s'arrête lorsque la variable U dépasse 100 et retourne la dernière valeur de N, c'est-à-dire la plus grande valeur de n pour laquelle un est strictement inférieur à 100.
Concrètement, cette valeur n étant fixée, l'année « 2013 + n » est la dernière année pour laquelle le nombre d'ouvrages de la médiathèque est encore inférieur à 100 000.
3 
En programmant la calculatrice, on obtient N = 26.
Tableau de valeurs avec un tableur :
Partie B
1 Pour prendre en compte ce changement, la ligne « U prend la valeur U × 0,95 + 6 » devient « U prend la valeur U × 0,95 + 4 ».
2 
vn+1 = 0,95 × vn + 4 pour tout entier naturel n avec v0 = 42, et wn = vn − 80 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, wn+1 = vn+1 − 80, puis
wn+1 = 0,95 × vn + 4 − 80 par définition de vn+1 ;
wn+1 = 0,95 × vn − 76 ;
wn+1 = 0,95 × vn − 0,95 × 80 car 76 = 0,95 × 80 ;
wn+1 = 0,95 × (vn − 80) en factorisant par 0,95 ;
wn+1 = 0,95 × wn par définition de wn.
La suite (wn) est donc une suite géométrique de raison q = 0,95 et de premier terme w0 = v0 − 80 = 42 − 80 = −38.
3 
a) Pour tout entier naturel n, wn = −38 × (0,95) n .
0 < 0,95 < 1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} (0,95)^n = 0, puis \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \lim\limits_{n \to +\infty} -38\times (0,95)^n = −38 × 0 = 0.
On a donc \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = 0.
b) Pour tout entier naturel n, vn = wn + 80 donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} (w_n + 80) = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n + 80 = 80 d'après la question 3 b).
On a donc \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 80.
c) Quand le nombre d'années n devient très grand, le nombre d'ouvrages de la médiathèque tend vers 80 000.
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