Problème : questions enchaînées

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Activités numériques

Exercice 1

On propose deux programmes de calcul.
Programme A :

choisir un nombre ;
ajouter 5 ;
calculer le carré du résultat obtenu.

Programme B :

choisir un nombre ;
soustraire 7 ;
calculer le carré du résultat obtenu.

1. On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4.

2. On choisit −2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?

a) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat de programme A soit 0 ?

b) Quels nombres faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 9 ?

4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?

Exercice 2

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.

2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.

3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?

4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.
On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\frac{1}{5}$ , calculer le nombre de boules bleues.

Exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Soit f la fonction définie par f(x) = −2x + 3

1. f(x) est de la forme ax + b. La valeur de a est :
❑ 3
❑ −2
❑ 2

2. L'image de 0 par f est :
❑ 1
❑ 1,5
❑ 3

3. La droite qui représente la fonction f passe par le point :
❑ A(−1 ; 1)
❑ B(−1 ; 5)
❑ C(1 ; −18)

4. L'antécédent de 4 par la fonction f est :
❑ − 5
❑ $\frac{7}{2}$
❑ $-\frac{1}{2}$

5. La droite qui représente la fonction f coupe l'axe des ordonnées en :
❑ D(1,5 ; 0)
❑ E(0 ; 3)
❑ F(0 ; 2)

Activités géométriques

Exercice 1

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Figure 1

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Figure 2

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Figure 3

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Figure 4

Compléter le tableau donné ci-dessous.

	Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4
Le triangle ABC est rectangle en A ?	❑ Oui ❑ Non	❑ Oui ❑ Non	❑ Oui ❑ Non	❑ Oui ❑ Non
Numéro(s) de la ou des propriétés permettant de le prouver

Liste des propriétés :
1. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
3. Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
4. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180º.
5. Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.
6. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.
7. Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
8. Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.

Exercice 2

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Rappel : $\textrm{volume d'une pyramide}=\frac{\textrm{aire de la base} \times \textrm{hauteur}}{3}$ .
ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm ;
I est le milieu du segment [AB] ;
J est le milieu du segment [AE] ;
K est le milieu du segment [AD].

1. Calculer l'aire du triangle AIK.

2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI.

3. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ ? Ecrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur 1.

4. Tracer un patron de la pyramide AIKJ.

Problème

Questions enchaînées. On pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème.
Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et $\widehat{\mathrm{ABC}} = 120º$ .
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.

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1. Tracer la figure en vraie grandeur.

a) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ABH}}$ . En déduire que BH = 3.

b) Prouver que $\mathrm{AH} = 3\sqrt{3}$ , puis calculer l'aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte).

c) Prouver que AC = 14.

M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5.
La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N.

a) Compléter la figure.

b) Prouver que $\mathrm{NM} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

c) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer l'aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l'unité près de cette aire.

Corrigé

Activités numériques

Exercice 1

1. On a choisi le nombre 5 et on lui soustrait 7, d'où 5 − 7 = −2. Puis on calcule le carré du résultat, on obtient donc (−2)² = 4.

2. Avec le programme A et le nombre −2, on commence par ajouter 5, soit −2 + 5 = 3. Puis on calcule le carré du nombre obtenu, d'où le résultat : 3² = 9.

a) Si on note x le nombre choisi, le résultat obtenu avec le programme A est (x + 5)². On résout donc l'équation suivante : (x + 5)² = 0. Soit x + 5 = 0 ou encore x = −5.
Donc il faut choisir le nombre −5 pour obtenir 0 avec le programme A.

b) Si on note x le nombre choisi, le résultat obtenu avec le programme B est (x −7)². On résout alors l'équation suivante : (x −7)² = 9. Or une équation x² = a, avec a > 0, a deux solutions : $\sqrt {a}$ et $- \sqrt {a}$ .
D'où $x - 7 = \sqrt {9} = 3$ ou $x-7=- \sqrt {9} = - 3$ .
Donc x = 3 + 7 = 10

. Il faut donc choisir 10 ou 4 pour obtenir 9 avec le programme B.

4. On doit résoudre l'équation :
(x + 5)² = (x −7)² ou encore (x + 5)² − (x − 7)² = 0.
On factorise le 1^er membre à l'aide de l'égalité remarquable :
a² − b² = (a − b)(a + b).
D'où l'équation : ((x + 5) − (x − 7))((x + 5) + (x − 7)) = 0.
Soit 12 × (2x −2) = 0.
On en déduit que 2x − 2 = 0, soit x = 1. Donc il faut choisir le nombre 1 pour que les deux programmes donnent le même résultat.

Exercice 2

1. Il y a 10 + 6 + 4, soit 20 boules dans le sac, dont 10 boules sont rouges. Donc on a 10 chances sur 20 de tirer une boule rouge. Donc la probabilité est $\frac {10}{20}$ ou encore $\frac {1}{2}$ .

2. Il y a 6 + 4, soit 10 boules qui sont noires ou jaunes sur un total de 20 boules, donc la probabilité de tirer une boule noire ou jaune est $\frac {1}{2}$ .

3. Si on calcule la somme des deux probabilités précédentes, on obtient $\frac{1}{2} + \frac {1}{2} = 1$ . Ce résultat est prévisible car la probabilité obtenue est celle de tirer une boule qui soit ou rouge ou noire ou jaune. C'est donc la probabilité de l'événement certain, c'est-à-dire 1.

4. Soit x le nombre de boules bleues ajoutées, on a alors 20 + x boules dans le sac. La probabilité de tirer une boule bleue, qui est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, est donc $\frac {x}{x+20}$ . On en déduit l'équation $\frac {x}{x+20}=\frac{1}{5}$ .
D'après l'égalité des produits en croix, on obtient : $5 \times x = 1 \times (x+20)$ .
Soit 5x - x = 20

$x= \frac {20}{4} = 5$ .
Donc on a ajouté 5 boules bleues dans le sac.

Exercice 3

1. Le nombre a est le coefficient devant la variable x, c'est-à-dire −2.

2. L'image de 0 par f est f(0) = −2 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3.

3. On a $f(-1)=-2 \times (-1) + 3 = 2 + 3 = 5$ . Donc la droite passe par le point B(−1 ; 5).

4. Chercher l'antécédent de 4 par f revient à résoudre l'équation f(x) = 4. Soit -2x + 3= 4

ou encore

, d'où $x=\frac{1}{-2}$ .
Donc l'antécédent de 4 par f est $-\frac{1}{2}$ .

5. La droite qui représente la fonction f coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse 0 et on a f(0) = 3. Donc c'est au point E (0 ; 3).

Activités géométriques

Exercice 1

	Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4
Le triangle ABC est rectangle en A ?	Oui	Non	Non	Oui
Numéro(s) de la ou des propriétés permettant de le prouver	5	7 et 4	3	1

Figure 1. On sait que les droites (AC) et (DE) sont parallèles et que la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (DE). D'après la propriété n° 5, on peut affirmer que la droite (AD) est aussi perpendiculaire à la droite (AC). Ce qui signifie que le triangle ABC est rectangle en A.

Figure 2. Les angles $\mathrm{\widehat {ABC}}$ et $\mathrm{\widehat{AEC}}$ sont deux angles inscrits dans un cercle, qui interceptent le même arc de cercle $\stackrel{\frown}{\mathrm{AC}}$ . D'après la propriété n° 7, on obtient $\mathrm{\widehat{ABC}=\widehat{AEC}}=60°$ .
Puis, dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à 180° :
$\mathrm{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}}=180°$ .
D'où $\mathrm{\widehat{BAC}}=180-(60+20)=100°$ et l'angle $\mathrm{\widehat{BAC}}$ n'est pas droit.

Figure 3. Le plus long côté est [BC]. On a BC² = 7,5² = 56,25 et
AC² + AB² = 5,5² + 4,5² = 30,25 + 20,25 = 50,5.
Donc BC² $\neq$ AC² + AB² et d'après la propriété n° 3, le triangle ABC n'est pas rectangle.

Figure 4. Le quadrilatère BCDE est un losange et d'après la propriété n° 1, les droites (EC) et (BD) sont perpendiculaires en A. Cela signifie que le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 2

1. ABCDEFGH est un cube, donc les arêtes [AD] et [AB] sont perpendiculaires et le triangle AIK est rectangle en A.
On en déduit que l'aire du triangle AIK est égale à $\mathrm{\frac {{AI} \times {AK}}{2}}$ .
Les points I et K sont les milieux des arêtes, donc AI = AK = 6 cm. D'où l'aire du triangle AIK est $\frac{{6} \times {6}}{2}=18$ cm².

2. Toujours d'après les propriétés du cube, l'arête [AE] est perpendiculaire à la base AIK et [AJ] est la hauteur de la pyramide AIKJ de base AIK.
On en déduit le volume de la pyramide AIKJ : $V=\frac{{18} \times {6}}{3}=36$ cm³.

3. Le volume du cube est égal à 12³, soit 1 728 cm³. Puis on effectue le rapport du volume de la pyramide par le volume du cube :
$\frac {V_{\mathrm{AIKJ}}}{V_{\mathrm{cube}}}=\frac{36}{1\,728}=\frac{1}{48}$ .

4. Patron réalisé à l'échelle 1/2 : les trois faces AIK, AIJ et AJK sont rectangles en A et la face IJK est un triangle équilatéral.

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Problème

1. Figure réalisée à l'échelle 1/2 et complétée par la question 3. a).
Indications pour la réalisation : on trace deux demi-droites [BC) et [BA) qui forment un angle de 120°. On place sur ces deux demi-droites les points C et A tels que BC = 10 cm et BA = 6 cm. Puis on trace la perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point A.

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a) L'angle $\mathrm{\widehat {CBH}}$ est plat, donc $\mathrm{\widehat{CBH}}=180°$ .
De plus $\mathrm{\widehat{CBH}=\widehat{CBA}+\widehat{ABH}}$ .
On en déduit que $\mathrm{\widehat{ABH}=\widehat{CBH}-\widehat{CBA}}$ .
D'où $\mathrm{\widehat{ABH}}=180-120=60°$ .
Dans le triangle ABH rectangle en H, on a $\cos{\mathrm{\widehat{ABH}}}=\mathrm{\frac{BH}{BA}}$ . Soit $\cos {60°}=\mathrm{\frac{BH}{6}}$ .
D'où $\mathrm{BH=6\times \cos {60°}}$ . Donc BH = 6 × 0,5 = 3 cm.

b) Toujours dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, AB² = BH² + HA².
D'où HA ² = 6² −3² = 36 − 9 = 27.
On en déduit que $\mathrm{HA}=\sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=\sqrt{9} \times \sqrt{3}$ .
Donc on obtient effectivement $\mathrm{HA}=3 \sqrt{3}$ cm.
Le triangle ACH est rectangle en H, donc son aire est égale à $\mathrm{\frac{HC \times HA}{2}}$ . Le point B est sur le segment [CH], donc CH = CB + BH.
D'où CH = 10 + 3 = 13 cm.
Donc l'aire du triangle ACH est égale à $\frac{13 \times 3 \sqrt{3}}{2}$ , soit $\frac{39 \sqrt{3}}{2}$ cm².

c) Dans le triangle ACH, d'après le théorème de Pythagore, on a AC² = CH² + AH².
D'où AC² = 13² + 27 = 169 + 27 = 196. On en déduit que AC = $\sqrt{196}$ , soit AC = 14 cm.

a) Voir la figure complétée à la question 1.

b) Dans le triangle ACH, M est un point du côté [CH], N est un point du côté [CA] et, par construction, les droites (MN) et (HA) sont parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès et on a $\mathrm{\frac{CM}{CH}=\frac{CN}{CA}=\frac{MN}{HA}}$ .
D'où $\mathrm{\frac{6,5}{13}=\frac{MN}{3\sqrt{3}}}$ et, d'après l'égalité des produits en croix :
$\mathrm{MN}\times 13 = 6,5 \times 3 \sqrt{3}$ .
Donc MN = $\frac{6,5 \times 3 \sqrt{3}}{6,5 \times 2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ cm.

c) L'aire du trapèze est égale à la différence des aires des triangles rectangles CHA et CMN. On connait $\mathcal{A}_{\mathrm{CHA}}=\frac{39 \sqrt{3}}{2}$ , soit environ 33,77 cm². On calcule donc l'aire du triangle CMN rectangle en M :
$\mathcal{A}_{\mathrm{CMN}}=\mathrm{\frac{CM \times MN}{2}}$ .
D'où $\mathcal{A}_{\mathrm{CMN}}=\frac{6,5 \times \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{19,5\sqrt{3}}{4}$ , soit environ 8,44 cm².
On en déduit l'aire du trapèze AHMN :
$\mathcal{A}\approx 33,77-8,44$ .
Donc l'aire du trapèze est environ égale à 25 cm² à l'unité près.
Autre méthode : on utilise la formule de l'aire d'un trapèze, c'est-à-dire le produit de la moyenne des deux bases par la distance entre les deux bases.
Soit $\mathcal{A} =\mathrm{\frac{MN + HA}{2} \times {MH}}$ , d'où $\mathcal{A}=\frac{1,5 \sqrt{3}+3 \sqrt{3}}{2}\times 6,5$ .
On obtient alors $\mathcal{A} \approx 25$ cm² (arrondie à l'unité près).

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