Problème : parcours croisés de deux automobilistes

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Activités numériques

Exercice 1

Soit $A=\frac{5}{3}-\frac{7}{3}\times{\frac{9}{4}}$ et $B=\sqrt{45}-12\sqrt{5}$ .

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Écrire B sous la forme $a\sqrt{5}$ où a est un entier relatif.

Exercice 2

On donne l'expression A=(2x-3)^2-(4x+7)(2x-3)

1. Développer et réduire A.

2. Factoriser A.

3. Résoudre l'équation (2x-3)(-2x-10)=0

Exercice 3

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.

1. Calculer le nombre de tartelettes.

2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.

Exercice 4

Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades :

la première fois, elle achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90 € ;
la seconde fois, elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 €.

En utilisant un système d'équations, aider l'élève de CP à retrouver le prix de chaque article.

Activités géométriques

Exercice 1

1. Construire un triangle ABC tel que : BC = 7 cm, $\widehat{\mathrm{BCA}}=37\mathrm{°}$ et $\widehat{\mathrm{CBA}}=53\mathrm{°}$ .

2. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.

3. Calculer la longueur CA puis donner la valeur arrondie au millimètre.

Exercice 2

1. Dans un repère orthonormé (O ; I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, placer les points A(0 ; 4), B(3 ; 2), C( −1 ; −4).

2. Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

3. En admettant que $\mathrm{AB}=\sqrt{13}$ cm et $\mathrm{AC}=\sqrt{65}$ cm, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

4. Placer dans le repère le point E image du point C dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ .

5. Démontrer que le quadrilatère ABCE est un rectangle.

Exercice 3

Sur la figure ci-après, on a un cône de révolution tel que SA = 12 cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA' = 3 cm. (La figure ci-après n'est pas à l'échelle.)

Zoom

1. Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.

2. Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône ?

3. Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm³.

Problème

Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville.
À huit heures du matin, les deux personnes commencent à rouler l'une vers l'autre :

Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60 km/h ;
Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h.

On note x le temps écoulé depuis huit heures du matin (x est exprimé en heures).
Ainsi, quand il est huit heures du matin, x = 0.
Après avoir roulé une heure, c'est-à-dire quand x = 1, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville.

1. À quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il quand x = 4 ? Quand x = 10 ?

2. À quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il quand x = 4 ? Quand x = 10 ?

3. Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville.
Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville.

4. On donne les fonctions suivantes $f\,:x\mapsto{60x}$ et $g\,:x\mapsto{900}-90x$ .
Recopier les tableaux suivants et les compléter :

x	0	1	4	10
f(x)

x	0	1	4	10
g(x)

5. Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant :

en abscisse : 1 cm pour une durée d'une heure ;
en ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km.

À l'aide d'une lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.

a) Au bout de combien de temps les deux personnes se croisent-elles ?

b) À quelle distance de Petitville se croisent-elles ? Faire apparaître les pointillés nécessaires.

a) Retrouver le résultat de la question 6.a) en résolvant une équation.

b) Retrouver le résultat de la question 6.b) par le calcul.

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Activités numériques

Exercice 1

1. $A=\frac{5}{3}-\frac{7}{3}\times{\frac{9}{4}}=\frac{5}{3}-\frac{7\times{3}\times{3}}{3\times{4}}$
donc $A=\frac{5}{3}-\frac{21}{4}=\frac{5\times{4}}{3\times{4}}-\frac{21\times{3}}{3\times{4}}$
donc $A=\frac{20}{12}-\frac{63}{12}=-\frac{43}{12}$ .

2. $B=\sqrt{45}-12\sqrt{5}=\sqrt{9\times{5}}-12\sqrt{5}$
donc $B=3\sqrt{5}-12\sqrt{5}$
donc $B=-9\sqrt{5}$ .

Exercice 2

1. $A=(2x-3)^{2}-(4x+7)(2x-3)$
donc $A=4x^{2}-12x+9-8x^{2}+12x-14x+21$
donc $A=-4x^{2}-14x+30$ .

donc

donc

3. Soit l'équation (2x-3)(-2x-10)=0

.
Il s'agit d'une équation produit. Ce produit est nul si et seulement si l'un des facteurs, au moins, est nul.
Soit 2x-3=0

. Soit $x=\frac{3}{2}$ ou x=-5

.
Conclusion : les solutions de l'équation sont $\frac{3}{2}$ et −5.

Exercice 3

1. Le pâtissier veut utiliser tous les fruits pour composer des tartelettes identiques, donc le nombre de tartelettes est un diviseur du nombre de framboises et du nombre de fraises. Par ailleurs, il veut composer un maximum de tartelettes, donc ce nombre sera le plus grand diviseur commun du nombre de framboises et du nombre de fraises.
Calculons alors PGCD(685 ; 411) par la méthode des divisions successives (algorithme d'Euclide).
Consignons les résultats des divisions successives dans le tableau suivant :

		1	1	2	Quotients
Dividendes	685	411	274	137	Diviseurs
Restes	274	137	0

Conclusion : le PGCD correspond au dernier reste non nul,
d'où PGCD(685 ; 411) = 137.
Le pâtissier pourra réaliser au maximum 137 tartelettes toutes identiques.

2. Chaque tartelette sera composée de :
$\frac{685}{137}=5$ fraises et de $\frac{411}{137}=3$ framboises.

Exercice 4

Soit x le prix d'un crayon et y le prix d'une gomme.
Le premier achat d'un montant de 10,90 € conduit à l'équation :
5x+2y=10,9

.
Le second achat d'un montant de 17,20 € conduit à l'équation :
$8x+3\,y=17,2$ .
Autrement dit, le couple (x ; y) est solution du système :
$(\mathrm{S})\begin{cases}5x+2y=10,9 \tabularnewline 8x+3y=17,2\end{cases}.$
Le système (S) est un système de deux équations à deux inconnues du premier degré. Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode par addition.
Vérifions d'abord que le système (S) admet un couple solution.
On a : $5\times{3}-2\times{8}=15-16=-1$ et puisque $-1\neq{0}$ , le système admet bien un unique couple comme solution.
Puis « supprimons » les y. Pour cela, on multiplie la première équation par 3 et la seconde équation par 2.
On obtient le nouveau système équivalent au précédent :
$\begin{cases}15x+6y=32,7 \tabularnewline 16x+6y=34,4\end{cases}.$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient le système équivalent au précédent :
$\begin{cases}x=1,7 \tabularnewline 5x+2y=10,9\end{cases}.$
La seconde équation nous permet alors de déterminer, par substitution, y.
On obtient le nouveau système équivalent au précédent :
$\begin{cases}x=1,7 \tabularnewline y=\frac{10,9-5\times{1,7}}{2}=1,2\end{cases}.$
Conclusion : l'unique couple solution du système est le couple (1,7 ; 1,2).
Le prix d'un crayon est de 1,70 € et celui d'une gomme de 1,20 €.

Activités géométriques

Exercice 1

Voici la figure demandée.

Zoom

2. La somme des angles dans un triangle vaut 180°.
Donc $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180$ °
donc $\widehat{\mathrm{BAC}}=180\mathrm-\widehat{\mathrm{ABC}}-\widehat{\mathrm{ACB}}$
donc $\widehat{\mathrm{BAC}}=180-53-37$
donc $\widehat{\mathrm{BAC}}=90$ °.
Conclusion : le triangle ABC est un triangle rectangle en A ( $\widehat{\mathrm{BAC}}$ est droit).

3. Le triangle ABC est rectangle en A, donc on peut y appliquer les formules de trigonométrie. En particulier, on a : ${\cos}\,\widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$
donc $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}\times{\cos}\,{\widehat{\mathrm{ACB}}}$ .
Donc, on a : $\mathrm{CA}=7\times{\cos}(37\mathrm{°})\approx{5,6}$ cm.

Exercice 2

Voir le graphique ci-après.

Zoom

2. Le repère est orthonormé, donc on peut calculer la longueur du segment [BC] à l'aide de la formule : $\mathrm{BC}=\sqrt{(x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{B}})^{2}+(y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{B}})^{2}}$ .
On obtient alors :
$\mathrm{BC}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(-4-2)^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{52}$ unités.
L'unité étant le centimètre, on a $\mathrm{BC}=\sqrt{52}\approx{7,2}$ cm.

3. Un raisonnement identique nous conduirait aux résultats suivants :
$\mathrm{AB}=\sqrt{13}$ cm et $\mathrm{AC}=\sqrt{65}$ cm.
Ainsi, on a : $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=13+52=65$ et $\mathrm{AC}^{2}=65$
donc $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}$ .
Dans ces conditions, la réciproque du théorème de Pythagore s'applique et nous permet d'affirmer que le triangle ABC est rectangle en B.

4. Le point E est l'image du point C dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ , ce qui se traduit par l'égalité vectorielle $\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ .
Cela signifie que le point E est le quatrième sommet du parallélogramme ABCE (voir le graphique).

5. D'après ce qui précède, on a établi que le quadrilatère ABCE était un parallélogramme et que triangle ABC était rectangle en B.
On peut donc affirmer que le parallélogramme ABCE admet un angle droit, ce qui fait de lui un rectangle.

Exercice 3

1. Le volume V du grand cône est défini par la relation :
$V=\frac{1}{3}$ × aire de la base × hauteur.
On a donc : $V=\frac{1}{3}\times{\pi}\times{7}^{2}\times{12}=196{\pi}$ cm³.

2. Par définition, le coefficient k de la réduction est : $k=\frac{\mathrm{SA'}}{\mathrm{SA}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .
Le volume V' du petit cône peut s'exprimer en fonction du coefficient de réduction k et du volume V de la pyramide initiale.
On a V' = k³×V donc le coefficient cherché est : $k^{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$ .

3. On a ainsi : $V'=\frac{1}{64}\times{V}=\frac{1}{64}\times{196}\pi=3,0625{\pi}\approx{10}$ cm³.

Problème

On supposera, bien sûr, que M. Martin et M. Gaspard roulent à vitesse constante sur l'ensemble du parcours.

1. Après 4 heures, M. Martin aura roulé 4 × 60 = 240, soit 240 km.
Il se situe donc à 240 km de Petitville.
Après 10 heures, M. Martin aura roulé 10 × 60 = 600, soit 600 km.
Il se situe donc à 600 km de Petitville.

2. Après 4 heures, M. Gaspard aura roulé 4 × 90 = 360, soit 360 km.
Il se situe donc à 900 − 360 = 540 km de Petitville.
Après 10 heures, M. Gaspard aura roulé 10 × 90 = 900, soit 900 km.
Il se situe donc à 900 − 900, soit 0 km de Petitville : autrement dit, il est arrivé à Petitville.

3. La distance f qui sépare M. Martin de Petitville correspond à la distance parcourue en fonction du temps x de parcours.
Ainsi on a : f(x) = 60x.
La distance g qui sépare M. Gaspard de Petitville correspond à 900 km moins la distance parcourue en fonction du temps x de parcours.
Ainsi, on a :
g(x) = 900 − 90 × x.

4. Tableaux :

x	0	1	4	10
f(x)	0	60	240	600

x	0	1	4	10
g(x)	900	810	540	0

La fonction f est la fonction linéaire de coefficient 60.
Sa représentation graphique est donc la droite qui passe par l'origine O du repère et par exemple par le point de coordonnées (10 ; 600).
La fonction g est une fonction affine.
Sa représentation graphique est donc la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 900) et (10 ; 0).
Avec ces indications, nous pouvons désormais tracer ces deux droites dans le repère ci-après.

Zoom

a) La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent correspond à l'abscisse du point d'intersection des représentations graphiques des deux droites : c'est-à-dire 6.

b) La distance de Petitville à laquelle elles se trouvent au moment où elles se croisent correspond à l'ordonnée du point d'intersection des représentations graphiques des deux droites : c'est-à-dire 360.
Conclusion : M. Martin et M. Gaspard se croisent au bout de 6 heures de route. À ce moment, ils seront à 360 km de Petitville.

a) Lorsque les deux personnes se croisent, elles se situent à la même distance de Petitville.
Donc le nombre x d'heures nécessaires pour arriver à ce croisement est la solution de l'équation : f(x) = g(x).
Cette équation est successivement équivalente à :
60x = 900 − 90x
150x = 900
x = 6.

b) Au bout de 6 heures, nos deux compères seront séparés de Petitville de :
f(6) = 360 km et g(6) = 360 km.
Remarquons qu'effectivement, ils seront au même endroit.

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