Problème : les deux formules d'un cinéma

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Activités numériques

Exercice 1

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite.

		Réponse N°1	Réponse N°2	Réponse N°3
A	$\frac{3}{2}\,+\,\frac{11}{5}\,{\times}\,\frac{15}{2}$ est égal à :	$\frac{111}{4}$	18	$\frac{35}{2}$
B	$\frac{14\,{\times}\,10^{7}\,{\times}\,27\,{\times}\,10^{-3}}{21\,{\times}\,10^{2}}$ est égal à :	1 800	18 000 000	18 000
C	Le nombre $(30\sqrt{2})^{2}$ est égal à :	60	3 600	1 800
D	Pour tout nombre x, (5x−2)² est égal à :	5x² − 20x + 4	25x² − 4	25x² − 20x + 4
E	L'équation (2x−3) (x + 4) = 0 admet pour solutions :	$\frac{2}{3}$ et − 4	$\frac{3}{2}$ et − 4	$-\frac{3}{2}$ et 4
F	Un objet coûte 12 000 F. Son prix augmente de 5%. Quel sera son nouveau prix ?	12 600 F	12 500 F	11 400 F
G	Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?	2h 20 min	2h 12 min	60 min

Exercice 2

Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés.
Il veut confectionner des coffrets « Souvenirs de Tahiti et ses îles », de sorte que :

le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ;
le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ;
toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés.

1. Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ?
Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ?

a) Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée.

b) Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ?
Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ?

Activités géométriques

Exercice 1

Cette figure n'est pas en vraie grandeur.

Zoom

On considère la figure ci-dessus dans laquelle :

AB = 6 cm et $\mathrm{\widehat{BAM}\,=\,} 60°$ .
C est le cercle de centre O et de diamètre [AB]
AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle C.

Partie A

1. Que représente le cercle C pour le triangle AMB ?

2. Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ?

3. Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle 120°, dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Partie B

1. En utilisant le cosinus de l'angle $\mathrm{\widehat{BAM}}$ , calculer AM.

2. Combien mesure l'angle $\mathrm{\widehat{BOM}}$ ? Justifier.

Exercice 2

Cette figure n'est pas en vraie grandeur.

Zoom

Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.
Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire.
Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-dessus tel que :
AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; CF = 25.

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ du triangle ABC est égale à 54 cm².

3. En déduire le volume $\mathcal{V}$ du prisme droit en cm³.
(On rappelle que : $\mathcal{V}$ = $\mathcal{B}$ × h avec $\mathcal{B}$ l'aire de la base en cm² et h la hauteur du prisme en cm).

4. Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE.
L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment [MN].

La figure n'est pas en vraie grandeur.

Zoom

(MN) // (BC)
AM = 10
AB = 12
AC = 9
BC = 15

Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN.

a) Refaire cette figure en vraie grandeur.

b) Calculer AN.

Problème

Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie.

Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules :

1^re formule : payer 1 000 Francs par ticket.
2^e formule : acheter une carte de fidélité annuelle à 2 500 Francs, puis payer 700 Francs par ticket.

Partie A

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre de tickets achetés en 1 an	5
Prix à payer (en F) avec la 1^re formule		14 000
Prix à payer (en F) avec la 2^e formule

2. Soit x le nombre de tickets achetés en 1 an.
On note F₁ le prix à payer (en Francs) avec la première formule, et
F₂ le prix à payer (en Francs) avec la deuxième formule.
Parmi les quatre fonctions suivantes, laquelle correspond à F₁ ? Laquelle correspond à F₂ ?
x $\mapsto$ x + 1 000
x $\mapsto$ 1 000x
x $\mapsto$ 700x + 2 500
x $\mapsto$ 2 500x + 700

3. Si l'on dépense 16 500 Francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en un an?

4. Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an.

Année	2003	2004	2005	2006	2007
Nombre de tickets achetés	1	8	20	12	14

5. Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année.
Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier.

Partie B

1. Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes :

en abscisses : 1 cm pour 1 ticket acheté ;
en ordonnées : 1 cm pour 1 000 Francs.

Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par :

f(x) = 1 000 x
g(x) = 700 x + 2 500

On répondra aux questions 2. à 4. en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.

2. Pour 15 tickets de cinéma achetés en une année, quel est le prix à payer avec la première formule ?

3. Avec un budget annuel de 12 000 Francs consacré au cinéma, combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ?

4. Sur une année, à partir de combien de tickets, la deuxième formule devient plus avantageuse que la première formule pour Manutea ?

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Activités numériques

Exercice 1

A : Réponse 2
$\frac{3}{2}\,+\,\frac{11}{5}\,{\times}\,\frac{15}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,+\,\frac{11\,{\times}\,5\,{\times}\,3}{5\,{\times}\,2}\,=\,\frac{3}{2}\,+\,\frac{33}{2}\,=\,\frac{36}{2}\,=\,18$ .

B : Réponse 1
$\frac{14\,{\times}\,10^{7}\,{\times}\,27\,{\times}\,10^{-3}}{21\,{\times}\,10^{2}}\,=\,\frac{14\,{\times}\,27\,{\times}\,10^{7+(-3)}}{21\,{\times}\,10^{2}}$
$=\frac{2\,{\times}\,7\,{\times}\,3\,{\times}\,9}{3\,{\times}\,7}\,{\times}\,10^{4-2}\,=\,18\,{\times}\,10^{2}\,=\,1\,800.$

C : Réponse 3
$\left(30\sqrt{2}\right)^{2}\,=\,30^{2}\,{\times}\,\left(\sqrt{2}\right)^{2}\,=\,900\,{\times}\,2\,=\,1\,800$ .

D : Réponse 3
(5x−2)² = (5x)²−2×5x×2+2² = 25x²−20x + 4.

E : Réponse 2
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc 2x−3 = 0 ou x + 4 = 0, soit $x\,=\,\frac{3}{2}$ ou x = −4.

F : Réponse 1
12 000 × $\frac{5}{100}$ = 600 et 12 000 + 600 = 12 600 ou 12 000 × 1,05 = 12 600.

G : Réponse 2
On a la formule $v\,=\,\frac{d}{t}$ d'où $t\,=\,\frac{d}{v}$ .
Donc $t\,=\,\frac{110}{50}$ = 2,2 h. Soit t = 2 h + 0,2 h = 2 h + 0,2×60 min.
Donc t = 2 h 12 min.

Exercice 2

1. Il a 230 porte-clés et 230 ÷ 10 = 23, donc il pourra confectionner 23 coffrets contenant chacun 10 portes-clés.
On a 276 ÷ 23 = 12, donc il y aura 12 cartes postales dans chacun des 23 coffrets.

a) On détermine le PGCD de 276 et 230 avec la méthode des divisions successives ou algorithme d'Euclide.
On a : 276 = 230 × 1 + 46 et 230 = 46×5 + 0. Le dernier reste non nul est 46, donc PGCD(276 ; 230) = 46.

b) Pour qu'il y ait le même nombre de cartes postales et le même nombre de porte-clés dans chaque coffret, le nombre de coffrets doit être un diviseur commun des nombres 276 et 230. De plus, ce nombre doit être maximal, le plus grand possible, donc il correspond au PGCD de ces deux nombres. Le vendeur peut donc confectionner au maximum 46 coffrets.
On a : 276 = 46×6 et 230 = 46×5, donc chaque coffret contiendra 6 cartes postales et 5 porte-clés.

Activités géométriques

Exercice 1

Partie A

1. Le rectangle AMBN est inscrit dans le cercle, donc les sommets A, M et B sont sur le cercle C. Le cercle C s'appelle le cercle circonscrit au triangle AMB.

2. C est le cercle de centre O et de diamètre [AB], donc O est le milieu de [AB]. D'après la définition de la symétrie centrale, si O est le milieu de [AB], alors le point B est le symétrique du point A par rapport à O.

3. Les points M et B sont sur le même cercle de centre O, donc OM = OB. On tourne de M vers B dans le sens des aiguilles d'une montre et l'angle $\mathrm{\widehat{MOB}}$ mesure 120° (justification à la question B 2.). Donc le point B est l'image du point M dans la rotation demandée.

Partie B

1. AMBN étant un rectangle, le triangle AMB est rectangle en M et on a : ${\cos}\,\mathrm{\widehat{BAM}\,=\,\frac{AM}{AB}}$ .
Soit $\cos{60°}\,=\,\frac{\mathrm{AM}}{6}$ , d'où $\mathrm{AM\,=\,6\,{\times}\,\cos{60°}\,=\,3}$ .
Donc AM = 3 cm.

2. 1^re façon : l'angle $\mathrm{\widehat{MAB}}$ est un angle inscrit dans le cercle C qui intercepte le petit arc de cercle $\mathrm{\widehat{MB}}$ . L'angle $\mathrm{\widehat{MOB}}$ est l'angle au centre qui intercepte le même arc. Or la mesure d'un angle au centre est égale au double de la mesure d'un angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle. Donc $\mathrm{\widehat{MOB}}\,=\,2\,{\times}\,\mathrm{\widehat{MAB}}$ , soit $\mathrm{\widehat{MOB}}\,=\,2\,{\times}\,60\,=\,120°.$
2^e façon : dans le triangle ABM rectangle en M, les angles aigus sont complémentaires : $\mathrm{\widehat{MAB}}\,+\,\mathrm{\widehat{MBA}}\,=\, 90°$ . D'où $\mathrm{\widehat{MBA}}\,=\,30°$ . On a OM = OB, donc le triangle MOB est isocèle au sommet O. Or, dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. Donc $\mathrm{\widehat{OMB}}\,=\,\mathrm{\widehat{OBM}}\,=\,30°$ .
Enfin, la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°. Dans le triangle OBM, on a : $\mathrm{\widehat{OBM}}\,+\,\mathrm{\widehat{OMB}}\,+\,\mathrm{\widehat{BOM}}\,=\,180°$ . Donc $\mathrm{\widehat{BOM}}\,=\,180\,-\,2\,{\times}\,30$ , soit $\mathrm{\widehat{BOM}}\,=\,120°$ .

Exercice 2

1. Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté. De plus,
$\mathrm{BC^{2}\,=\,15^{2}\,=\,225}$ et $\mathrm{AB^{2}\,+\,AC^{2}\,=\,12^{2}\,+\,9^{2}\,=\,144\,+\,81\,=\,225}$ . Donc on a l'égalité $\mathrm{BC^{2}\,=\,AB^{2}\,+\,AC^{2}}$ et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. Le triangle ABC est rectangle en A, donc $\mathcal{B}\,=\,\frac{\mathrm{AB}\,{\times}\,\mathrm{AC}}{2}$ . Soit $\mathcal{B}\,=\,\frac{12\,{\times}\,{9}}{2}\,=\,54$ . L'aire du triangle ABC est égale à 54 cm².

3. La hauteur du prisme droit représenté mesure 25 cm et $\mathcal{V}$ = $\mathcal{B}$ ×h. D'où $\mathcal{V}$ = 54 × 25 = 1 350. Donc le volume du prisme droit est égal à 1 350 cm³.

Cette figure est tracée à l'échelle $\mathit{\frac{1}{2}}$ .

Zoom

b) Dans le triangle ABC, M est un point du côté [AB], N est un point du côté [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, donc on peut appliquer le théorème de Thalès et on a :
$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}\,=\,\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}\,=\,\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$ . On en déduit que $\frac{10}{12}\,=\,\frac{\mathrm{AN}}{9}$ .
D'après l'égalité des produits en croix : 12×AN = 9 ×10.
D'où $\mathrm{AN}\,=\,\frac{9\,{\times}\,10}{12}$ ; $\mathrm{AN}\,=\,\frac{\mathrm{3\,{\times}\,3\,{\times}\,2\,{\times}\,5}}{\mathrm{3\,{\times}\,2\,{\times}\,2}}\,=\,\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}$ .
Donc la distance AN est égale à 7,5 cm.

Problème

Partie A

Nombre de tickets achetés en 1 an	5	14
Prix payé (en F) avec la 1^re formule	5 000	14 000
Prix payé (en F) avec la 2^e formule	6 000	12 300

2. Pour obtenir le prix avec la formule F₁, on doit multiplier le nombre x de tickets par 1 000 F, c'est donc la fonction x $\mapsto$ 1 000x qui correspond à la 1^ère formule.
Pour obtenir le prix avec la formule F₂, on doit multiplier le nombre x de tickets par 700 F et ajouter 2 500 F, le prix de la carte de fidélité. Donc la fonction x $\mapsto$ 700x + 2 500 correspond à la 2^e formule.

3. On doit résoudre l'équation suivante : 700x + 2 500 = 16 500.
D'où 700x = 16 500 − 2 500 ; 700x = 14 000 ; $x\,=\,\frac{\mathrm{14\,000}}{\mathrm{700}}\,=\,\mathrm{20}$ .
Donc avec 16 500 F et la 2^ème formule, on achète 20 tickets par an.

4. On calcule une moyenne arithmétique :
$\mathrm{\frac{1\,+\,8\,+\,20\,+\,12\,+\,14}{5}}\,=\,\frac{55}{5}\,=\,{11}$ .
Donc Manutea a acheté en moyenne 11 tickets de cinéma par an.

5. Si Manutea décide d'aller une fois par mois au cinéma, cela représente 12 tickets par an.
Avec la formule F₁, il payera 1000 × 12, soit 12 000 F.
Avec la formule F₂, il payera 700 × 12 + 2 500, soit 10 900 F.
La formule la plus intéressante est donc la formule F₂, avec laquelle il payera moins.

Partie B

1. La fonction f est une fonction linéaire, donc sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère et le point (5 ; 5 000).
La fonction g est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite qui passe par les points de coordonnées (5 ; 6 000) et (14 ; 12 300) donnés par le tableau de la question 1 A.

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2. Sur le graphique, le point d'abscisse 15 de la représentation graphique de f a pour ordonnée 15 000. Donc le prix à payer pour 15 tickets avec la 1^re formule est 15 000 F.

3. Le point de la représentation graphique de la fonction g d'ordonnée 12 000 a une abscisse comprise entre 13 et 14. Donc avec 12 000 F et la 2^e formule, on peut acheter 13 tickets.

4. Le point d'intersection des deux représentations graphiques a une abscisse comprise entre 8 et 9. Donc c'est à partir de 9 tickets par an qu'il est préférable de choisir la 2^e formule.

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