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Problème : implantation d'une éolienne

Énoncé

Activités numériques
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point. Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.
1.
\frac{3}{4} - \frac{5}{4} \times \frac{1}{2} est égal à :                         
-\,\frac{2}{4}
-\,\frac{2}{8}
\frac{1}{8}
2.
L'écriture scientifique de 0,000 054 9 est :
5,49
549 \times 10^{7}
5,49 \times 10^{-5}
3.
Le nombre (5 \sqrt{2})^{2} est égal à :
10
50
100
4.
Une voiture parcourt 230 km en 2 h 30 min. Sa vitesse moyenne est :
100 km/h
60 km/h
92 km/h
5.
f(x) = 2x^{2} - 5x + 3. L'image de −3 par f est :
36
−36
−6

Exercice 2
Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234 € et la deuxième au prix de 162 €.
Quel est le prix de la composition ci-après ? Expliquer la démarche suivie.
Exercice 3
On a calculé, en colonne B, les valeurs prises par l'expression x^{2} + x - 2 pour les valeurs de x inscrites en colonne A.
A
B
x
x^{2} + x - 2
−5
18
−4,5
13,75
−4
10
−3,5
6,75
−3
4
−2,5
1,75
−2
0
−1,5
−1,25
−1
−2
−0,5
−2,25
0
−2
0,5
−1,25
1
0
1,5
1,75
2
4
2,5
6,75
3
10
3,5
13,75
4
18
4,5
22,75
5
28

On souhaite résoudre l'équation d'inconnue x : x^{2} + x - 2 = 4.
1. Margot dit que le nombre 2 est solution. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
2. Léo pense que le nombre 18 est solution. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
3. Peut-on trouver une autre solution ? Justifier la réponse.
Activités géométriques
Exercice 1
Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.
1. Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
2. En déduire que le triangle ABC est rectangle.
Exercice 2
Un fabricant de cheminées contemporaines propose une cheminée pyramidale de base le carré ABCD, de côté 120 cm.
H est le centre du carré.
La hauteur [SH] de la pyramide mesure 80 cm.
1. 
Le fabricant place sous la cheminée une plaque de fonte. Cette plaque a la forme d'un pavé droit de base ABCD et d'épaisseur 1 cm.
a) Justifier que son volume est 14 400 cm3.
b) La masse volumique de la fonte est 6,8 g/cm3. Quelle est la masse de cette plaque de fonte ?
2. 
On désigne par I le milieu du segment [AB].
Dans cette question, on ne demande aucune justification géométrique.
a) Dessiner à l'échelle \frac{1}{10} le triangle SHI puis le triangle SAB représentant une des faces latérales de la pyramide.
b) Ces faces latérales sont en verre. Quelle est l'aire totale de la surface de verre de cette cheminée ?
Problème
Une commune étudie l'implantation d'une éolienne dans le but de produire de l'électricité.
Partie 1. Courbe de puissance d'une éolienne
La puissance fournie par l'éolienne dépend de la vitesse du vent.
Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l'éolienne ne fonctionne pas.
Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement.
Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s.
Zoom
Problème : implantation d'une éolienne - illustration 5
Source : www.windpower.org.
1. 
Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes.
a) Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l'éolienne fonctionne ?
b) Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l'éolienne est au moins 200 kW.
c) La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.
2. On arrête l'éolienne lorsque le vent souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h.
Partie 2. Étude de la vitesse du vent
On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours. Le nombre de relevés étant trop important, la série est présentée par les éléments suivants :
Minimum
ler quartile
Médiane
3e quartile
Maximum
0 m/s
4 m/s
6,2 m/s
14,6 m/s
28,4 m/s

1. Pendant combien de temps peut-on estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2 m/s durant l'année ?
2. Expliquer pourquoi on peut considérer que l'éolienne n'a pu fonctionner faute de vent suffisant pendant une durée totale de trois mois.
3. Combien la série contient-elle de relevés ?
Partie 3. Puissance et longueur de pales
Les trois pales d'une éolienne décrivent un disque en tournant. On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque.
1. 
a) Calculer l'aire de ce disque avec des pales de 44 m.
b) Même question avec des pales de 66 m.
2. On admet que la puissance de l'éolienne est proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales.
Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66 m au lieu de 44 m ?

Corrigé

Activités numériques
Exercice 1
1. \frac{3}{4}-\frac{5}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{5}{8}=\frac{3\times2}{4 \times 2}-\frac{5}{8}=\frac{6}{8}-\frac{5}{8}=\frac{1}{8}.
2. L'écriture scientifique de 0,000 054 9 est 5,49 \times 10^{-5}.
3. (5 \sqrt{2})^{2}=5^{2} \times (\sqrt{2})^{2}=25 \times 2=50.
4. 230 km en 2,5 h, cela fait \frac{230}{2,5}=92 km/h.
5. L'image de − 3 par f est f(-3)=2 \times (-3)^{2}-5 \times (-3)+ 3, soit f(-3)= 2 \times 9 + 15 + 3 = 18+15+3=36.
Exercice 2
Pour déterminer le prix de la composition, on doit déterminer le prix de chacun des deux types de meuble. On appelle x le prix du grand élément et y celui du petit. Les prix des deux compositions se traduisent par les équations suivantes : 2x + 2y = 234 et x + 3y = 162.
On peut diviser les coefficients de la première équation par 2, soit x + y = 117 et on en déduit x = 117 − y (*). On remplace x par cette expression dans la deuxième équation et on obtient : 117 − y + 3y = 162.
D'où 117 + 2y = 162 ; 2y = 162 − 117 ; 2y = 45 ; y=\frac{45}{2}=22,5.
On calcule la valeur de x en remplaçant y par 22,5 dans la première équation : x = 117 − 22,5 = 94,5.
On sait maintenant qu'un grand meuble coûte 94,50 € et qu'un petit meuble coûte 22,50 €.
Le prix de la troisième composition est donc égal à :
3 × 94,50 + 2 × 22,50, soit 328,50 €.
Exercice 3
1. La 17e ligne du tableau indique que la valeur prise par l'expression x2 + x − 2 pour x = 2 est 4. Cela signifie que 2 vérifie l'égalité ou que 2 est solution de l'équation et donc Margot a raison.
2. Léo a lu la 21e ligne du tableau qui indique que si x = 4, alors l'expression prend la valeur 18. Donc Léo se trompe.
3. On peut lire à la 7e ligne que pour x = − 3, l'expression prend la valeur 4. Donc − 3 est une autre solution de l'équation.
Activités géométriques
Exercice 1
1. Les droites (AD) et (BE) sont sécantes en C, les points D, C et A d'une part et les points E, C et B d'autre part sont alignés dans le même ordre.
De plus \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}} = \frac {10}{30} = \frac {1}{3} et \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}} = \frac{14}{42}= \frac {1}{3}, donc \frac {\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}} = \frac {\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}}. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
2. On sait que les droites (DE) et (AB) sont parallèles et que les droites (DE) et (DA) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc la droite (DA) est perpendiculaire à la droite (AB), ce qui signifie que le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 2
1. 
a) Le volume d'un pavé droit est égal à B \times hB est l'aire de la base. Ici la base est un carré de côté 120 cm et la hauteur h est égale à l'épaisseur, soit 1 cm.
Donc le volume de la plaque est 1202 × 1, soit 14 400 cm3.
b) La masse volumique de la fonte est 6,8 g/cm3, cela signifie que 1 cm3 de fonte a une masse de 6,8 g.
Donc la masse de la plaque est égale à 14 400 × 6,8, soit 97 920 g ou 97,920 kg.
2. 
a) 
Explications
Figure 1 : le point I est le milieu de [AB], donc \mathrm{HI}=\frac{\mathrm{DA}}{2}=60 cm et le triangle SHI est rectangle en H.
Figure 2 : le triangle SAB est isocèle en S et la médiane (SI) est aussi la hauteur. On reporte la longueur SI à partir de la figure 1.
Figure 1
Zoom
Figure 1
Figure 2
Zoom
Figure 2
b) L'aire latérale est : \mathcal{A}=4\times \mathcal{A}_{(\mathrm{SAB})}, on doit donc déterminer la hauteur SI du triangle SAB.
Dans le triangle SHI rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a SI2 = SH2 + HI2. D'où SI2 = 802 + 602 = 6 400 + 3 600  = 10 000.
SI est une longueur, un nombre positif, donc SI =\sqrt{10\,000}, SI = 100 cm.
[SI] est la hauteur correspondant au côté [AB] dans le triangle SAB, donc \mathcal{A}_{(\mathrm{SAB})}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{SI}}{2} ; \mathcal{A}_{(\mathrm{SAB})}=\frac{120 \times 100}{2}; \mathcal{A}_{(\mathrm{SAB})}= 6\,000 cm2. On en déduit que \mathcal{A} = 4 × 6 000 = 24 000. L'aire latérale en verre est égale à 24 000 cm2 ou 2,4 m2.
Problème
Partie 1. Courbe de puissance d'une éolienne
1. 
a) Sur le graphique, le premier point de la courbe est le point (4 ; 0), donc l'éolienne fonctionne pour une vitesse du vent supérieure à 4 m/s.
b) La courbe passe au-dessus de la droite y = 200 à partir du point d'abscisse environ égale à 9. Donc à partir d'une vitesse du vent supérieure à 9 m/s, la puissance est au moins 200 kW.
c) Si la puissance fournie par l'éolienne était proportionnelle à la vitesse du vent, la courbe représentative serait une droite passant par l'origine du repère. Or, ce n'est pas le cas, donc il n'y a pas proportionnalité.
2. v=25 \textrm{ m/s} =\frac{25\textrm{ m}}{1 \textrm{ s}}=\frac{25 \times 3\,600 \textrm{ m}}{1 \times 3\,600 \textrm{ s}}=\frac{90\,000 \textrm{ m}}{1 \textrm{ h}}=\frac{90\textrm{ km}}{1\textrm{ h}}.
Donc une vitesse de 25 m/s est égale à 90 km/h.
Partie 2. Étude de la vitesse du vent
1. 6,2 m/s est la valeur médiane de la série statistique des vitesses du vent, c'est la valeur qui partage les données de la série en deux groupes de même effectif. 50 % des données sont inférieures ou égales à 6,2 et 50 % des données sont supérieures ou égales à 6,2. On peut donc estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2 m/s pendant environ la moitié de l'année.
2. Le premier quartile Q1 d'une série statistique est la valeur de la série telle que au moins 25 % des données sont inférieures ou égales à Q1. Le premier quartile est 4 m/s qui est la vitesse minimale du vent pour que l'éolienne fonctionne, donc on peut estimer que pendant 25 % de l'année, c'est-à-dire 3 mois, l'éolienne n'a pas pu fonctionner.
3. On a effectué un relevé toutes les minutes pendant un an. Or, un jour comprend 24 heures de 60 minutes, donc une année correspond à 365 × 24 × 60 = 525 600 minutes. La série contient donc 525 600 relevés.
Partie 3. Puissance et longueur de pales
1. 
a) L'aire d'un disque de rayon r est égale à \pi \times r^{2}. Donc l'aire du disque de rayon 44 m est \pi \times 44^{2}, soit 1\,936\pi m2.
b) L'aire du disque de rayon 66 m est \pi \times 66^{2}, soit 4\,356 \pi m2.
2. On a \frac{4\,356 \pi}{1\,936 \pi}=2,25. L'aire du disque décrit par les grandes pales est 2,25 fois plus grande que celle du disque décrit par des petites pales. La puissance fournie étant proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales, la puissance fournie est elle aussi multipliée par 2,25.
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