Étude d'une figure

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Activités numériques

Exercice 1

Recopier et compléter le tableau colonne par colonne (x est un nombre positif) :

x	9
x²		16
$\sqrt{x}$			5

Exercice 2

On considère la fraction $\frac{190}{114}$ .

1. Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible.

2. Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés).

3. En déduire la forme irréductible de la fraction $\frac{190}{114}$ .

Exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact. Chaque réponse exacte donne 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
$\frac{3}{2} + \frac{7}{5}$	$\frac{10}{7}$	$\frac{10}{10}$	$\frac{29}{10}$
$\frac{10^{5}}{10^{2}}$	$10^{3}$	$10^{7}$	$10^{-3}$
$\frac{2}{3} - \frac{7}{3}\div\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$	$-\frac{26}{3}$	$-\frac{20}{3}$
$(10^{5})^{2}$	$10^{7}$	$10^{3}$	$10^{10}$

Exercice 4

On donne $A = (x - 5)^{2}$ et $B = x^{2} - 10x + 25$ .

1. Calculer A et B pour x = 5.

2. Calculer A et B pour x = −1.

3. Peut-on affirmer que A = B quelle que soit la valeur de x ? Justifier.

Activités géométriques

Exercice 1

Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50 m.

Zoom
S : position de Simon
C : position du cerf-volant
SC = 50 m

1. La ficelle fait avec l'horizontale un angle $\widehat{\mathrm{CSH}}$ qui mesure 80°.
Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c'est-à-dire CH (on donnera la réponse arrondie au mètre).

2. Lorsque la ficelle fait avec l'horizontale un angle de 40°, la distance CH est-elle la moitié de celle calculée au 1. ? Justifier la réponse.

Exercice 2

Le cube représenté ci-après est un cube d'arête 6 cm.
(La figure n'est pas aux dimensions réelles.)
On considère :

le point M milieu de l'arête [BB'] ;
le point N milieu de l'arête [CC'] ;
le point P milieu de l'arête [DC] ;
le point R milieu de l'arête [AB].

Zoom
Échelle $\frac{1}{2}$ .

1. Quelle est la nature du triangle BRM ? Construire ce triangle en vraie grandeur.
Calculer la valeur exacte de RM.

2. On coupe le cube par un plan passant par R et parallèle à l'arête [BC]. La section est le quadrilatère RMNP.
Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur.
Donner ses dimensions exactes.

3. Calculer l'aire du triangle RBM.
Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC].

Problème

Partie A. Étude de la figure donnée

OABC est un carré de côté 7 cm.
O, A et E sont alignés et AE = 2 cm.

Zoom
Échelle $\frac{1}{2}$ .

1. Calculer l'aire du carré OABC.

2. Calculer $\tan\,\widehat{\mathrm{OEC}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{OEC}}$ , arrondie au degré.

3. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ECB}}$ ? Justifier.

Partie B. Construction d'un rectangle sur la figure

Compléter la figure précédente en effectuant le programme de construction suivant.

a) Construire avec soin la droite parallèle à la droite (CE) passant par A ; cette droite coupe le segment [OC] en M. Placer M ;

b) Construire le rectangle OMNE.

a) Prouver que $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OC}} = \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OE}}$ .

b) Calculer la valeur exacte de OM.

c) Montrer que l'aire du rectangle OMNE est égale à l'aire du carré OABC.

Partie C. Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

On utilisera la figure suivante.
OABC est maintenant un carré de côté 5 cm ; O, A et E sont alignés ; AE = 5 cm.
Construire le rectangle OMNE de même aire que le carré OABC, avec M appartenant au segment [OC].

Zoom
Échelle $\frac{1}{2}$ .

Corrigé

Activités numériques

Exercice 1

	9	4	25
$x^{2}$	81	16	625
$\sqrt{x}$	3	2	5

Exercice 2

1. 190 et 114 sont deux nombres pairs, ce sont deux multiples de 2, donc on peut simplifier la fraction par 2.

2. On détermine le PGCD par la méthode des divisions successives ou algorithme d'Euclide.
190 = 114 × 1 + 76
114 = 76 × 1 + 38
76 = 38 × 2 + 0.
Le dernier reste non nul est 38, donc PGCD (190 ; 114) = 38.

3. Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur, on obtient une fraction irréductible.
$\frac{190}{114}=\frac{38\times 5}{38\times 3}=\frac{5}{3}$ . La fraction $\frac{5}{3}$ est bien irréductible.

Exercice 3

$\frac{3}{2}+\frac{7}{5}=\frac{15}{10}+\frac{14}{10}=\frac{29}{10}$ . Réponse C.
$\frac{10^5}{10^2}=10^{(5-2)}=10^3$ . Réponse A.
$\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\div \frac{1}{4}=\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\times4=\frac{2}{3}-\frac{28}{3}=-\frac{26}{3}$ . Réponse B.
$(10^5)^2=10^{5\times 2}=10^{10}$ . Réponse C.

Exercice 4

1. Pour x = 5, A = (5 − 5)² = 0² = 0
et B = 5² − 10 × 5 + 25 = 25 − 50 + 25 = 0.

2. Pour x = − 1, A = (−1 − 5)² = (−6)² = 36
et B = (−1)² −10 × (−1) + 25 = 1 + 10 + 25 = 36.

3. Le fait que les deux expressions A et B donnent le même résultat pour deux valeurs différentes ne permet pas d'affirmer que A = B pour toutes les valeurs de x. Par contre, on connait les égalités remarquables et on sait que (x − 5)² = x ² −10x + 25.

Activités géométriques

Exercice 1

1. Dans le triangle CSH rectangle en H, on connait l'hypoténuse SC et on cherche la longueur du côté opposé à l'angle $\mathrm{\widehat{CSH}}$ . On utilise la trigonométrie et $\sin\widehat{\mathrm{CSH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{SC}}$ ou encore $\mathrm{CH}=\mathrm{SC}\times \sin \widehat{\mathrm{CSH}}$ . Soit CH = 50 × sin 80°, d'où CH $\approx$ 49 m à 1 m près.

2. Si l'angle $\mathrm{\widehat{CSH}}$ mesure 40°, alors CH = 50 × sin 40° ; CH $\approx$ 32 m à 1 m près. Donc la distance CH n'est pas égale à la moitié de la distance CH précédente.

Exercice 2

ABCDA'B'C'D' est un cube donc les faces sont des carrés et les angles aux sommets sont droits. Le triangle BRM est donc rectangle en B.
De plus les points M et R sont les milieux des arêtes [BB'] et [BA] qui ont la même longueur 6 cm, donc BM = BR = 3 cm. Donc le triangle BRM est rectangle et isocèle en B.

Zoom

D'après le théorème de Pythagore, on a :
RM² = BM² + BR², d'où RM² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18.
RM est un nombre positif, donc RM = $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ cm.

Lorsque l'on coupe un cube (un parallélépipède rectangle) par un plan parallèle à une arête, la section obtenue est un rectangle. Donc RMNP est un rectangle de dimensions RM = $3\sqrt{2}$ cm et RP = 6 cm. Pour construire le rectangle en vraie grandeur, on reporte à l'aide du compas la longueur RM obtenue sur le triangle rectangle précédent.

Zoom

3. Le triangle BRM est rectangle en B, donc $\mathcal{A}_{\mathrm{BRM}}=\frac{3 \times 3}{2}$ = 4,5 cm².
Le volume d'un prisme droit est donné par $V\,=\,B\,\times\,h$ où B est l'aire de la base et h est la hauteur du prisme. Donc V = 4,5 × 6 = 27 cm³.

Problème

Partie A

1. L'aire du carré OABC est égale à $\mathcal{A}_{\mathrm{OABC}}$ = c × c.
Soit $\mathcal{A}_{\mathrm{OABC}}$ = 7 × 7 = 49 cm².

2. OABC est un carré, donc l'angle en O est droit et le triangle OCE est rectangle en O. D'après la trigonométrie, on a $\mathrm{\tan \widehat{OEC}= \frac {OC}{OE}}$ .
Le point A appartient au segment [OE], donc OE = OA + AE ;
OE = 7 + 2 = 9 cm.
Donc $\mathrm{\tan \widehat{OEC}= \frac {7}{9}}$ et $\mathrm{\widehat{OEC}= \tan^{-1}( \frac {7}{9})}$ , soit $\mathrm{\widehat{OEC} \approx}$ 38°, valeur arrondie au degré.

Les droites (CB) et (OE) sont parallèles d'après les propriétés d'un carré. Les angles $\mathrm{\widehat{OEC}}$ et $\mathrm{\widehat{ECB}}$ sont deux angles alternes internes, déterminés par la sécante (CE) et les droites parallèles (CB) et (OE), ils ont donc la même mesure. D'où $\mathrm{\widehat{ECB}= \widehat{OEC} \approx}$ 38° à 1 degré près.

Zoom
Figure réalisée à l'échelle $\frac{1}{2}$ .

Partie B

Zoom
Figure réalisée à l'échelle $\frac{1}{2}$ .

a) Les points O, M et C sont alignés, les points O, A et E sont alignés et d'après la construction, les droites (MA) et (CE) sont parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès et on a l'égalité $\mathrm{\frac{OM}{OC}=\frac{OA}{OE}}$ .

b) On en déduit que $\mathrm{\frac{OM}{7}= \frac{7}{9}}$ ,
donc $\mathrm{OM=\frac{7}{9} \times{7}= \frac{49}{9}}$ cm (valeur exacte).

c) L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur. Donc $\mathcal{A}_{\mathrm{OMNE}}=\mathrm{OM} \times \mathrm{OE}$ , soit $\mathcal{A}_{\mathrm{OMNE}}=\frac{49}{9} \times {9}=49$ cm². On retrouve bien l'aire du carré OABC.

Partie C

On peut construire le point M de deux façons différentes :

On peut déterminer la longueur OM qui est la largeur du rectangle OMNE, dont on connait la longueur OE = 5 + 5 = 10 cm. Le rectangle a la même aire que le carré OABC, donc on a l'égalité 10 × OM = 5². D'où OM = 25 ÷ 10 = 2,5 cm. Le point M est le milieu de [OC].
On utilise la construction de la partie B. On trace la parallèle à la droite (CE) passant par A. Elle coupe le segment [OC] au point M cherché.

Zoom
Figure à l'échelle $\frac{1}{2}$ .

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