Problème : associations sportives

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Activités numériques

Exercice 1

1. $A\,=\,\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\div(\frac{4}{3}-\frac{1}{2})$ .
Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. $B\,=\,\frac{21\,\times\,10^{-4}\,\times\,500\,\times\,(10^{2})^{3}}{0,7\,\times\,10^{8}}$ .
Donner l'écriture décimale puis l'écriture scientifique de B.

3. $C\,=\,\sqrt{75}-6\sqrt{48}+11\sqrt{3}$ .
Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ .

Exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées et une seule est exacte.
1 point en cas de bonne réponse, 0 point autrement.

1. (3x − 2)² =
❑ 3x² − 4
❑ 3x² − 12x + 4
❑ 9x² − 12x + 4
❑ 9x² − 4

2. (2x − 1)(5x − 4) =
❑ 10x² − 8x
❑ 10x² − 13x + 4
❑ 10x² − 13x − 4
❑ −3x − 4

3. L'équation x² = 81 admet :
❑ aucune solution
❑ une seule solution
❑ deux solutions
❑ on ne peut pas savoir

4. Pour x = −2, 3x² + 5x − 1 =
❑ 1
❑ −23
❑ 14
❑ −10

Exercice 3

1. Rendre irréductible le quotient $\frac{126}{175}$ .

Un commerçant possède 175 boules de noël rouges et 126 boules bleues.
Il a choisi de confectionner des sachets tous identiques. Il voudrait en avoir le plus grand nombre en utilisant toutes les boules.

a) Combien de sachets pourra-t-il réaliser ?

b) Combien de boules de chaque couleur y aura-t-il dans chaque sachet ?

Activités géométriques

Exercice 1

Tracer un triangle OAC isocèle en O et tel que :
CO = 5,5 cm et $\mathrm{\widehat{COA}}\,=\,54{^{\circ}}$ .
Construire B le symétrique du point C dans la symétrie de centre O.

1. Montrer que ABC est rectangle en A.

2. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?
Tracer ce cercle.

3. Déterminer la mesure de l'angle $\mathrm{\widehat{CBA}}$ , justifier votre réponse.

4. Calculer CA. Donner un résultat arrondi au centimètre.

Exercice 2

Soit la figure ci-après (les unités ne sont pas respectées).

Problème : associations sportives - illustration 1

1. Montrer que les droites (CR) et (SE) sont parallèles.

2. Calculer la longueur SE.

3. On sait que le triangle CRO est une réduction du triangle OSE.
Donner le coefficient de réduction.

4. Sachant que l'aire du triangle OSE vaut ${6}\sqrt{11}\,\mathrm{cm}^{2}$ , montrer que celle de CRO vaut ${0,96}\sqrt{11}\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Problème

« Ti moun » et « Colibri » sont deux associations sportives qui proposent des activités omnisport hebdomadaires pour les jeunes enfants. Les parents payent :

chez « Ti moun » : 1,20 € par séance ;
chez « Colibri » : une adhésion de 8 € puis 0,9 € par séance.

a) Recopier et compléter le tableau suivant.

Nombre de séances		10	17	30
Coût chez « Ti moun »	6	12
Coût chez « Colibri »		17

b) Le coût chez « Colibri » est-il proportionnel au nombre de séances ?

2. Exprimer en fonction du nombre x de séances le coût en € payé pour une saison :

avec l'association « Ti moun » ;
avec l'association « Colibri ».

3. Sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre :

en abscisse : 1 cm pour 2 séances ;
en ordonnée : 1 cm pour 2 euros.

On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille.
Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines définies par :
t(x) = 1,2x et c(x) = 0,9x + 8.

En utilisant le graphique précédent (les traits de construction seront apparents),

a) déterminer le coût le plus avantageux pour les parents si leur enfant participe à 20 séances.

b) si les parents prévoient un budget de 40 €, à combien de séances leur enfant pourra-t-il participer avec l'association « Colibri » ?

a) Résoudre l'inéquation 0,9x + 8 inférieur ou égal

1,2x.

b) À combien de séances doit participer un enfant au minimum pour que ses parents choisissent « Colibri » au lieu de « Ti moun » ?

Corrigé

Activités numériques

Exercice 1

1. $A\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{5}{4}\,\div\,\left(\frac{4}{3}\,-\,\frac{1}{2}\right)\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{5}{4}\,\div\,\left(\frac{8}{6}\,-\,\frac{3}{6}\right)\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{5}{4}\,\div\,\frac{5}{6}$
$A\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{5}{4}\,\times\,\frac{6}{5}$
$A\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{5\hspace{-1ex}/\,\times\,6}{4\,\times\,5\hspace{-1ex}/}\,=\,\frac{3}{4}\,+\,\frac{6}{4}$ . Donc $A\,=\,\frac{9}{4}$ .

2. $B\,=\,\frac{21\times{10^{-4}}\times{500}\times(10^{2})^{3}}{0,7\times{10^{8}}}\,=\,\frac{21\times{10^{-4}}\times{500}\times{10}^{2\times{3}}}{7\times{10^{7}}}$
$B\,=\,\frac{21\times{500}}{7}\,{\times}\,\frac{10^{-4}{\times}10^{6}}{10^{7}}\,=\,1\,500\,{\times}\,\frac{10^{-4\,+\,6}}{10^{7}}\,=\,1\,500\,{\times}\,\frac{10^{2}}{10^{7}}$
B = 1 500 × 10²⁻⁷ = 1 500 × 10⁻⁵ = 0,015.
En écriture scientifique : B = 1,5 × 10⁻².

3. $C\,=\,\sqrt{75}\,-\,6\sqrt{48}\,+\,11\sqrt{3}\,=\,\sqrt{25\times{3}}\,-\,6\sqrt{16\times{3}}\,+\,11\sqrt{3}$
$C\,=\,\sqrt{25}\,{\times}\,\sqrt{3}\,-\,6\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}+11\sqrt{3}=5\sqrt{3}-6\times4\sqrt{3}+11\sqrt{3}$ .
$C\,=\,(5\,-\,24\,+\,11)\sqrt{3}$ . Donc $C\,=\,-\,8\sqrt{3}$ .

Exercice 2

1. La bonne réponse est 9x² − 12x + 4, car :
(3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.

2. La bonne réponse est 10x² − 13x + 4, car :
(2x − 1)(5x − 4) = 2x × 5x − 2x × 4 − 1 × 5x − 1 × (−4)
= 10x² − 8x − 5x + 4 = 10x² − 13x + 4.

3. L'équation a deux solutions : 9 et −9.

4. La bonne réponse est 1, car :
3 × (−2)² + 5 × (−2) − 1 = 3 × 4 + (−10) − 1 = 12 − 10 − 1 = 1.

Exercice 3

1. Si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur PGCD, on obtient une fraction irréductible. On détermine le PGCD de 126 et 175 avec la méthode des divisions successives (appelée algorithme d'Euclide) :
175 = 126 × 1 + 49 ; 126 = 49 × 2 + 28 ; 49 = 28 × 1 + 21
28 = 21 × 1 + 7 et 21 = 7 × 3 + 0.
Le dernier reste non nul est 7, donc PGCD (126 ; 175) = 7.
D'où $\frac{126}{175}\,=\,\frac{7\hspace{-1ex}/\times{18}}{7\hspace{-1ex}/\times{25}}\,=\,\frac{18}{25}$ .

a) Les sachets étant tous identiques, le nombre de sachets doit être un diviseur commun de 175 et 126. De plus, le commerçant veut en confectionner le plus possible, donc on cherche le plus grand diviseur commun. D'après la question précédente, on peut affirmer qu'il pourra confectionner 7 sachets identiques.

b) On a 175 = 7 × 25 et 126 = 7 × 18, donc, dans chacun des 7 sachets, il y aura 25 boules rouges et 18 boules bleues.

Activités géométriques

Exercice 1

Figure réalisée à l'échelle $\frac{1}{2}$ .

Problème : associations sportives - illustration 2

1. Dans le triangle ABC, on sait que B est le symétrique de C par rapport à O, donc O est le milieu de [BC] et on a $\mathrm{OB}\,=\,\mathrm{OC}\,=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ .
De plus, (OA) est la médiane relative au côté [BC], or le triangle AOC est isocèle en O, donc on a OA = OC, soit $\mathrm{OA}\,=\,\frac{\mathrm{BC}}{2}$ .
Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.
Donc le triangle ABC est rectangle en A et d'hypoténuse [BC].

2. Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit est le cercle ayant pour diamètre son hypoténuse.
Donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de centre O et de diamètre [BC].

3. Dans le cercle de centre O, l'angle $\widehat{\mathrm{CBA}}$ est un angle inscrit qui intercepte le petit arc de cercle $\widehat{\mathrm{AC}}$ et l'angle $\widehat{\mathrm{COA}}$ est l'angle au centre qui intercepte le même arc de cercle $\widehat{\mathrm{AC}}$ .
Or, la mesure d'un angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Donc $\widehat{\mathrm{COA}}$ = 2 × $\widehat{\mathrm{CBA}}$ , d'où $\widehat{\mathrm{CBA}}\,=\,\frac{54}{2}\,=\,27$ . Donc l'angle $\widehat{\mathrm{CBA}}$ mesure 27°.

4. Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après la trigonométrie, on a : ${\sin}\,\widehat{\mathrm{CBA}}\,=\,\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$ .
O est le milieu de [BC], donc BC = 2 × OC, soit BC = 2 × 5,5 = 11.
D'où sin 27° = $\frac{\mathrm{AC}}{11}$ et AC = 11 × sin 27° (valeur exacte).
À l'aide de la calculatrice, on obtient : AC $\approx$ 5 cm à 1 cm près.

Exercice 2

1. Les triangles OCR et OES, de sommet commun O, sont tels que les points C, O et E d'une part et les points R, O et S d'autre part sont alignés dans ce même ordre.
De plus, $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OE}}\,=\,\frac{2}{5}\,=\,0,4$ et $\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}}\,=\,\frac{3,2}{8}\,=\,0,4$ , donc $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OE}}\,=\,\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}}$ .
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites (CR) et (SE) sont parallèles.

2. On sait maintenant que les triangles OCR et OES sont tels que C est un point de la droite (OE), R est un point de la droite (OS) et les droites (CR) et (SE) sont parallèles.
On peut appliquer le théorème de Thalès et on a les égalités de rapports suivantes : $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OE}}\,=\,\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}}\,=\,\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{SE}}$ . D'où $0,4\,=\,\frac{3,6}{\mathrm{SE}}$ , soit SE × 0,4 = 3,6 (d'après l'égalité des produits en croix) ; $\mathrm{SE}\,=\,\frac{3,6}{0,4}\,=\,{9}$ . Donc SE est égale à 9 cm.

3. D'après les questions précédentes, on sait que $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OE}}\,=\,\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}}\,=\,\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{SE}}$ et 0,4 est un nombre compris entre 0 et 1, donc le triangle OCR est une réduction du triangle OES de coefficient 0,4.

4. Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k, l'aire est multipliée par k².
Donc l'aire du triangle OCR est égale à celle du triangle OES multipliée par 0,4² = 0,16, soit $0,16\times{6\sqrt{11}}$ .
Donc l'aire du triangle OCR est bien égale à $0,96\sqrt{11}\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Problème

Nombre de séances	5	10	17	30
Coût chez « Ti moun »	6	12	20,4	36
Coût chez « Colibri »	12,5	17	23,3	35

b) On calcule le quotient du coût par le nombre de séances pour deux colonnes : $\frac{12,5}{5}\,=\,2,5$ et $\frac{17}{10}\,=\,1,7$ . Les quotients n'étant pas égaux, on peut affirmer que le coût chez « Colibri » n'est pas proportionnel au nombre de séances.

2. Soit x le nombre de séances.

Pour obtenir le coût avec l'association « Ti moun », on multiplie le nombre de séances par 1,20 €, donc le coût est égal à 1,2x €.
Pour obtenir le coût avec l'association « Colibri », on multiplie le nombre de séances par 0,9 € et on ajoute les 8 € d'adhésion, donc le coût est égal à 0,9x + 8.

3. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

La droite qui représente la fonction t définie par t(x) = 1,2x et qui correspond au coût avec « Ti moun » passe par les points de coordonnées (5 ; 6) et (30 ; 36) (donnés par le tableau).
La droite qui représente la fonction c définie par c(x) = 0,9x+ 8 et qui correspond au coût avec « Colibri » passe par les points de coordonnées (5 ; 12,5) et (30 ; 35) (voir graphique ci-après).

a) Sur le graphique, pour l'abscisse x = 20, le point de la droite représentant le coût avec « Ti moun » est en dessous du point de la droite représentant le coût avec « Colibri ». Cela signifie que pour 20 séances il préférable de choisir l'association « Ti moun », avec laquelle les parents paieront 24 €.

b) Sur le graphique, pour une ordonnée y = 40, le point de la droite représentant le coût avec « Colibri » a une abscisse comprise entre 35 et 36. Cela signifie qu'avec un budget de 40 €, un enfant peut participer à 35 séances avec l'association « Colibri ».

Unités graphiques : 1 cm pour 5 séances en abscisse ; 1 cm pour 4 € en ordonnée.

Problème : associations sportives - illustration 3

a) Résolution de l'inéquation : 0,9x + 8 inférieur ou égal

1,2x.
$8\,\leq\,1,2$ x − 0,9x ; $8\,\leq\,0,3$ x ; $\frac{8}{0,3}\leq{x}$ . Soit ${x}\,\geq\,\frac{80}{3}$ .
Les solutions de l'inéquation 0,9x + 8 inférieur ou égal

1,2x sont les nombres supérieurs à $\frac{80}{3}$ .

b) L'association « Colibri » est préférable à l'association « Ti moun » lorsque le coût c(x) est inférieur au coût t(x), ce qui correspond à l'inéquation c(x) inférieur ou égal

t(x). D'après le résultat précédent, il faut que $x\,\geq\,\frac{80}{3}$ avec $\frac{80}{3}\,\approx\,{26,7}$ .
Or, on cherche un nombre de séances, c'est-à-dire un nombre entier, donc c'est à partir de 27 séances que les parents doivent choisir l'association « Colibri ».

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