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Probabilités

Par une lettre du 29 juillet 1654, Pascal répond à Fermat sur le problème des « parties » (Pascal, Œuvres complètes, Gallimard, « La Pléiade », p. 77). On peut dater de ce jour la naissance des probabilités. Cette branche des mathématiques prendra son plein essor avec les Bernoulli, puis avec Poisson, jusqu'à fournir, au xxe siècle, la base théorique nécessaire à la conception des lois de toutes les sciences, de la physique à la sociologie.
1. Comment définir une probabilité ?
• On part d'une expérience aléatoire E, c'est-à-dire d'une expérience dont on peut prévoir les issues possibles, mais dont on ne connaît le résultat qu'après sa réalisation.
• Première étape : à l'aide d'un arbre, par exemple, on détermine toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. On définit ainsi l'univers \Omega comme l'ensemble de toutes les issues possibles de E. On a : \Omega = \left\{ {e_1 ,\,e_2 ,\,...,\,e_n } \right\}
• Seconde étape : à chaque issue on attribue une probabilité, c'est-à-dire qu'à chaque e_i on associe un nombre p_i. Ces nombres doivent vérifier les conditions suivantes :
\left\{ \begin{array}{l} 0 \le p_i \le 1{\rm{, pour~tout}}~i \in \left\{ {1,\,...,\,n} \right\} \\ p_1 + p_2 + ... + p_n = 1 \\ \end{array} \right. Pour déterminer les nombres p_i, il existe deux possibilités :
  • soit on associe à toutes les issues la même probabilité p_i = \frac{1}{n} , on dit alors que la probabilité est équirépartie ou que l'on est dans une situation d' équiprobabilité ;
  • soit on répète l'expérience dans des conditions identiques, on définit alors p_i comme la fréquence de x_i quand le nombre de répétitions tend vers + \infty.
• À l'issue de ces deux étapes, on a établi la loi de probabilité que l'on présente sous forme de tableau :
Issue
e_1
e_2

e_n
 
Probabilité
p_1
p_2

p_n
1

Remarque
La première étape est essentielle. Il s'agit d'abord de bien comprendre l'expérience, de la visualiser et de la simuler pour écrire quelques issues possibles. Il s'agit enfin de déterminer toutes les issues de l'expérience. C'est dans ce « toutes » que réside la difficulté.
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Comment calculer la probabilité d'un événement ?
Soit E une expérience aléatoire et \Omega = \left\{ {e_1 ,\,e_2 ,\,...,\,e_n } \right\}, l'univers associé à E.
• On appelle événement de l'expérience aléatoire E, tout sous-ensemble de \Omega.
Autrement dit, un événement A est une partie de \Omega.
Quand x_i appartient à A, on dit aussi que x_i réalise A.
On appelle événement élémentaire, un événement constitué d'un seul élément de \Omega, c'est-à-dire constitué d'une seule issue \left\{ {e_i } \right\}.
• La probabilité P(A) d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.
Dans le cas où la probabilité est équirépartie, chaque issue e_i a pour probabilité \frac{1}{n}.
Ainsi, si A contient m éléments, P\left( A \right) = m \times \frac{{\rm{1}}}{n}.
Autrement dit : P(A) est égal au rapport du nombre d'éléments de A par le nombre d'éléments de Ω.
Remarques
• La probabilité d'un événement élémentaire \left\{ {e_i } \right\} est p_i.
\Omega est appelé événement certain ; P\left( \Omega \right) = 1.
• Le sous-ensemble vide, noté \O{}, est appelé événement impossible ; P(\O{}) = 0.
Exercice n°4Exercice n°5Exercice n°6
3. Comment calculer la probabilité de l'union de deux événements ?
• Soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire.
A \cup B est l'événement constitué des issues qui appartiennent à A ou à B.
A \cap B est l'événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
Quand A \cap B = \O{}, c'est-à-dire quand aucune issue n'appartient à la fois à A et à B, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints).
• Si A et B sont quelconques : P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right).
Si A et B sont incompatibles (ou disjoints) : P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right).
Exercice n°7Exercice n°8
4. Comment calculer la probabilité d'un événement contraire ?
L'événement contraire de A, noté \overline A, est l'événement qui se réalise quand A n'est pas réalisé. Il est constitué des issues de \Omega qui n'appartiennent pas à A.
Cela se résume ainsi : A \cap \overline A = \O{} et A \cup \overline A = \Omega.
• En utilisant les propriétés du paragraphe précédent, on montre que, pour tout événement A : P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right).
Exercice n°9Exercice n°10
À retenir
• Définir une probabilité, c'est associer à chaque issue x_i un nombre p_i positif de telle sorte que p_1 + p_2 + ... + p_n = 1.
• La probabilité P(A) d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.
• Dans le cas équiprobable : P\left( A \right) = \frac{{{\rm{nombre~d'elements~de~A}}}}{{{\rm{nombre~d'elements~de~}}\Omega }}.
• Soit A et B deux événements quelconques : P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right).
• Soit A un événement quelconque : P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right).
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