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Fonctions polynômes du second degré et homographiques

Une fonction comportant un terme où la variable est au carré ou une fonction quotient de deux fonctions affines peuvent toujours s'écrire sous une forme, dite canonique, permettant de définir l'enchaînement des opérateurs et de déduire les intervalles sur lesquels ces fonctions sont croissantes ou décroissantes.
Chercher un antécédent par l'une de ces fonctions amène à résoudre des équations ou des inéquations comportant l'inconnue au carré ou l'inconnue au dénominateur.
1. Comment étudier une fonction fonction polynôme de degré 2 ?
Si l'écriture d'une fonction comporte des carrés on la présente sous la forme canonique {\alpha (x + \beta )^2 + \gamma}. Cette forme permet d'écrire la fonction sous forme d'une chaîne d'opérateurs et de déterminer son sens de variation.
• Exemple
Pour montrer que le trinôme du second degré défini par f(x) = 2x2 + 6x + 1 a pour forme canonique f(x) = 2(x + 1,5)2 − 3,5, on développe le carré, puis on multiplie par le coefficient 2 et on soustrait 3,5.
On obtient f(x) = 2(x2 + 2 × 1,5 × x + 2,25) − 3,5
Soit f(x) = 2x2 + 6x + 4,5 − 3,5
D'où f(x) = 2x2 + 6x + 1
• On vérifie ainsi que la fonction f, définie sur [-5 ; 2], par f(x) = 2(x + 1,5)^2 - 3,5 atteint son minimum −3,5 lorsque le carré est nul, c'est-à-dire pour x = −1,5.
D'où le tableau de variation :
• On dresse ensuite un tableau de valeurs pour tracer la courbe :
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
f(x)
21
9
1
−3
−3
1
9
21

2. Comment étudier une fonction homographique ?
Si une fonction se présente comme le quotient de deux fonctions affines, on l'écrit sous la forme canonique \alpha + \frac{\beta }{{x - \gamma }}. Cette forme permet d'écrire la fonction sous forme d'une chaîne d'opérateurs et de déterminer son sens de variation.
• Exemple
Pour montrer que la fonction f, définie sur [1,5 ; 6] parf(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}, a pour forme canonique :
f(x) = 2 + \frac{5}{x- 1}, on réduit au même dénominateur (x − 1).
On obtient f(x) = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{5}{x - 1}.
Soit f(x) = \frac{2x - 2 + 5}{x - 1}
D'où f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}.
• À partir d'un tableau de valeurs, on trace la courbe :
3. Comment déterminer par dichotomie une solution de l'équation f(x) = 0 ?
f est une fonction strictement monotone (c'est à dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle [A ; B]. On suppose que sa courbe représentative coupe une fois l'axe des abscisses. Donc les images f(A) et f(B) sont opposées. Ce qui équivaut à dire que f(A) × f(B) < 0. On envisage une précision à 1O-N.
L'équation f(x) = 0 admet donc une et une seule solution x0 sur cet intervalle.
Le calcul de x0 par dichotomie consiste à partager en deux l'intervalle contenant x0.
Plus le nombre de sections est grand, plus l'amplitude de cet intervalle est petit.
Algorithme
Variables
A et B (Bornes de l'intervalle)
N (Exposant de la précision)
C, X et Y
f la fonction à étudier
Entrée
\rightarrow A
\rightarrow B
\rightarrow N
f(A) \rightarrow C
Traitement
Tant que B − A > 10-N
(A + B) ÷ 2 \rightarrow X
f(X) \rightarrow Y
Si Y × C < 0
Alors
X \rightarrow B
Sinon
X \rightarrow A
Fin Si
Fin Tant
Sortie
Afficher A
Afficher B
On traduit sur la calculatrice :
Texas Instrument
Casio
Input A
\rightarrow A
Input B
\rightarrow B
Input N
\rightarrow N
Y1 (A) \rightarrow C
A \rightarrow X
While (B − A) > 10^−N
Y1 \rightarrow C
(B + A) ÷ 2 \rightarrow X
While B − A > 10^−N
Y1(X) \rightarrow Y
(B + A) ÷ 2 \rightarrow X
If C × Y < 0
Y1 \rightarrow D
Then
If C × D < 0
X \rightarrow B
Then X \rightarrow B
Else
Else X \rightarrow A
X \rightarrow A
IfEnd
End
WhileEnd
End
« PAR DEFAUT »
« PAR DEFAUT »
A \bigtriangleup
Disp A
« PAR DEFAUT »
« PAR EXCES »
B \bigtriangleup
Disp B
Stop

4. Comment déterminer par dichotomie la solution de l'équation f(x) = k ?
Sur un intervalle [A ; B], la fonction f est strictement monotone et sa courbe représentative coupe une et seule fois la droite d'équation y=K.
Algorithme
Dans l'algorithme précédent, il faut entrer la valeur K et remplacer Y × C < 0 par (K − Y) × (K − C) < 0.
À retenir
Le tableau de variation d'une fonction f comportant l'inconnue au carré s'établit à partir de l'écriture canonique f(x) = \alpha (x + \beta)^2 + \gamma. Si le coefficient \alpha du terme au carré est négatif, alors γ est un maximum ; il est atteint pour x = - \beta. Si \alpha est positif, alors γ est un minimum ; il est aussi atteint pour x = - \beta.
• Une fonction homographique f, définie pour x \not = \gamma, a une écriture canonique de la forme g(x) = \alpha + \frac{\beta}{x - \gamma}. Si β est positif la fonction f est croissante. Si β est négatif, elle est décroissante.
• Ces nouvelles fonctions conduisent à résoudre des équations qui ne sont plus du premier degré. Pour les résoudre, on peut utiliser un algorihtme de dichotomie et localiser les solutions cherchées sur des intervalles dont l'amplitude sera rendue aussi petite que possible.
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