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Équations et inéquations

Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On s'intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque l'on cherche à résoudre un système d'équations ou d'inéquations, une équation ou une inéquation produit.
Après avoir étudié les fonctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les fonctions homographiques. De nouveaux types d'équations et inéquations apparaissent, comportant l'inconnue au carré ou au dénominateur.
1. Comment résoudre un système d'inéquations du premier degré à une inconnue ?
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient ainsi deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la partie commune aux deux intervalles ; si elle existe, c'est la solution du système.
Exemple
On veut résoudre le système : \left\{ {\begin{array}{l} {2x < 3} \\ {x + 4 > 0} \\ \end{array} } \right..
Ce système est équivalent à : \left\{ {\begin{array}{l} {x < 1,5} \\ {x > - 4} \\ \end{array} } \right..
L'ensemble des solutions du système est donc l'intersection de deux intervalles :
S = ] - \infty\,;\; 1,5[ \: \cap \: ] - 4\,;\; + \infty [. D'où : S = ] - 4\,;\; 1,5[. (Il peut être utile de dessiner les intervalles pour déterminer l'intersection.)
Exercice n°1
2. Comment résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues ?
Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
• Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution.
Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système \left\{ {\begin{array}{l} {x + 2y = 3} \\ {2x + 3y = 4} \\ \end{array} } \right., on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ {2x + 3y = 4} \\ \end{array} } \right..
On remplace ensuite x par 3 - 2y dans la seconde équation, ce qui donne le système :
\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ {2(3 - 2y) + 3y = 4} \\ \end{array} } \right. qui équivaut à \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ { - y + 6 = 4} \\ \end{array} } \right., soit encore à \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 4 = - 1} \\ {y = 6 - 4 = 2} \\ \end{array} } \right..
On obtient ainsi le couple solution : S = \{ ( - 1\,;\; 2)\}.
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l'on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l'autre équation.
Exemple
Dans le système \left\{ {\begin{array}{l} {2x + 3y = 7} \\ {3x - 2y = 4} \\ \end{array} } \right., on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {4x + 6y = 14} \\ {9x - 6y = 12} \\ \end{array} } \right..
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {4x + 6y = 14} \\ {13x = 26} \\ \end{array} } \right., soit encore \left\{ {\begin{array}{l} {8 + 6y = 14} \\ {x = 2} \\ \end{array} } \right. ou \left\{ {\begin{array}{l} {y = (14 - 8) \div 6 = 1} \\ {x = 2} \\ \end{array} } \right..
On en déduit le couple solution : S = \{ (2\,;\; 1)\}.
• Un système peut n'avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
Soit le système : \left\{ {\begin{array}{l} {ax + by = c} \\ {a'x + b'y = c'} \\ \end{array} } \right.. Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c'est-à-dire si ab' = a'b, ce système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :
– si de plus ac' \ne a'c, alors le sysème n'a pas de solution ;
– si ac' = a'c (les coefficients des deux équations sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
Exercice n°2
• On trouvera au paragraphe 4 de la fiche « Lire ou compléter un algorithme », un algorithme permettant de résoudre tout système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
3. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés ?
• Pour résoudre une équation comportant des carrés, on revient à une écriture de la forme X^2 = A^2. Deux nombres opposés ont le même carré, donc :
X^2 = A^2 équivaut à X = A ou X = - A.
Exemple
Résoudre (x - 1)^2 = 9 revient à écrire : x −1 = 3 ou x −1 = −3,
soit x = 4 ou x = −2, d'où S = {−2 ; 4}.
• Pour résoudre une inéquation comportant des carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si possible, en un produit de facteurs du premier degré.
On peut alors en déduire l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.
Exemple
Résoudre (x - 1)^2 \le{} 9 revient à écrire : (x - 1)^2 - 9 \le {0}.
On reconnaît alors la différence de deux carrés : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
D'où : [(x-1)-3][(x -1) + 3] \le {0}, ou encore : (x - 4)(x +2) \le {0}.
On conclut à l'aide d'un tableau de signes :
Le produit est négatif sur l'intervalle [ - 2 ; 4], d'où : S = [- 2 ; 4].

4. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant l'inconnue au dénominateur ?
• Dans le cas d'une équation, on écrit l'égalité des « produits en croix » pour obtenir une égalité sans dénominateur.
Exemple
Pour x \ne 0, résoudre l'équation \frac{x - 1}{x} = \frac{2}{3} équivaut à résoudre : 3(x - 1) = 2x.
D'où : 3x - 3 = 2x, ou encore 3x - 2x = 3, soit x = 3.
L'ensemble des solutions est S = {3}.
• Dans le cas d'une inéquation, on transpose tous les termes dans un seul membre et on fait apparaître si possible un quotient de facteurs du premier degré. On peut alors déterminer l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.
Exemple
Pour x \ne 0, résoudre l'équation \frac{x - 1}{x} \le \frac{2}{3} équivaut à résoudre \frac{x -1}{x} - \frac{2}{3} \le 0.
En réduisant au même dénominateur, on obtient : \frac{3x - 3}{3x} - \frac{2x}{3x} \le 0, soit \frac{x - 3}{3x} \le 0.
On conclut à l'aide d'un tableau de signes :
Le quotient est négatif sur l'intervalle ]0 ; 3], donc S = \:]0 ; 3].
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