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Vecteurs colinéaires et équations de droite

La géométrie analytique, inventée par Descartes, associe à tout point ou tout vecteur du plan des coordonnées. Démontrer les propriétés d'une figure revient alors à effectuer des calculs. C'est plus direct et souvent plus convaincant.
On peut ainsi montrer que des droites sont parallèles, que des points sont alignés, que quatre points définissent un parallélogramme, formuler différemment la propriété de Thalès, etc.
À toute droite on peut associer une équation, c'est à dire une relation vérifiée par les coordonnées de chacun de ses points. On sait qu'une fonction affine se représente par une droite. Réciproquement toute droite du plan ne peut représenter une fonction affine. Les droites parallèles à l'axe des ordonnées ne conviennent pas. La forme générale d'une équation de droite n'est donc pas y\,=\,mx\,+\,p, mais ax + by + c =0 ((a\,;\,b)\,\neq\,(0\,;\,0)).
Le repère nécessaire aux calculs n'est pas toujours fourni, il faut alors définir précédemment une origine et deux vecteurs non nuls et non colinéaires pour que tout point ou tout vecteur du plan ait un couple unique de coordonnées.
1. Quand dit-on que deux vecteurs sont colinéaires ?
Définition  : Un vecteur \vec{v} est colinéaire à un vecteur \vec{u} non nul lorsqu'il existe k\,\in\,R tel que : \vec{v}\,=\,k\,\times\,\vec{u}.
Remarque : Si \vec{u}\,\neq\,\vec{0}, les deux vecteurs ont la même direction.
Relation sur les coordonnées  : \vec{v}(a'\,;\,b')\,=\,k\,\times\,\vec{u}(a\,;\,b) équivaut à \left \lbrace \begin {array}{lllll} a'\,=\,k\,\times\,a \\ \,b'\,=\,k\,\times\,b\end {array} \right. soit \left \lbrace \begin {array}{lllll} a'b\,=\,k\,\times\,ab \\ \,ab'\,=\,k\,\times\,ab\end {array} \right..
Soit a'b = ab' ou ab'\,-\,ab'\,=\,0.
C'est à dire que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Points alignés  : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si il existe une égalité de la forme : \overrightarrow{AC}\,=\,k\,\times\,\overrightarrow{AB} (k\,\in\,R).
Droites parallèles  : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si il existe une relation de la forme \overrightarrow{CD}\,=\,k\,\times\,\overrightarrow{AB}.
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Quelles égalités vectorielles caractérisent la propriété de Thalès dans le triangle ?
Énoncé  : La parallèle à l'un des côtés d'un triangle découpe sur les deux autres côtés, ou leurs prolongements, des segments de longueurs proportionnelles.
Si (IJ) // (BC) et \overrightarrow{AI}\,=\,k\overrightarrow{AB} alors \overrightarrow{AJ}\,=\,k\overrightarrow{AC}.
Réciproque  : Si \overrightarrow{AI}\,=\,k\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AJ}\,=\,k\overrightarrow{AC} alors (IJ) // (BC).
Exercice n°4Exercice n°5
3. Comment déterminer un vecteur directeur à partir d'une équation de droite ?
Méthode  : Si (D) est une droite passant par le point A et de vecteur directeur \vec{u} alors pour tout point M de la droite (D), les vecteurs \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires.
On obtient une équation cartésienne de la forme ax\,+\,by\,+\,c\,=\,c\,=\,0\,((a\,;b)\,\neq\,(0\,;\,0)).
Remarques  : Si b\,\neq\,0 c'est à dire lorsque la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, on peut écrire cette équation sous forme réduite : y\,=\,mx\,+\,p.
Une droite a une infinité d'équations cartésiennes, il suffit de multiplier les deux membre de l'égalité par un nombre réel différent de 0. Mais l'équation réduite est unique.
Exemple  : Soit la droite (D), passant par le point A(1 ; 2) et de vecteur directeur \vec{u}(3\,;\,4).
Si M(x\,;y)\,\in(D) alors \overrightarrow{AM}(x-1; y\,-\,2) et \vec{u}(3\,;4) sont colinéaires.
Donc (x\,-\,1)\,\times\,4\,-\,3\,\times\,(y\,-\,2)\,=\,0 soit 4x\,-\,4\,-\,3y\,+\,6\,=\,0 ou 4x\,-\,3y\,+\,2\,=\,0.
4. Comment déterminer un vecteur directeur à partir d'une équation de droite ?
Cas d'une équation cartésienne ax\,+\,by\,+\,c\,=\,0\,((a\,;\,b\,\neq\,0\,;\,0))  :
Le système \left \lbrace \begin {array} {lllllll} ax\,+\,by\,+,c\,=\,0 \\ \,ax\,+\,by\,=\,0\end {array} \right. n'a pas de solution pour c\,\neq\,0 et une infinité de solutions pour c\,=\,0. Les droites d'équations ax\,+\,by\,+\,c\,=\,0\,(D) et ax\,+\,by\,=\,0\,(D') sont donc parallèles et distinctes ou parallèles et confondues.
Les points O(0 ; 0) et A(− b  ; a) appartiennent à la droite (D'), donc le vecteur \overrightarrow{OA}(-b\,;\,a) est un vecteur directeur de (D') et de (D).
Cas d'une équation réduite y\,=\,mx\,+\,p  :
Le système \left \lbrace \begin {array} {lllll} y\,=\,mx\,+\,p \\ y\,=\,mx\end {array} \right. n'a pas de solution pour p\,\neq\,0 et une infinité de solutions pour p\,=\,0.
Les droites d'équations y\,=\,mx\,+\,p\,(d) et y\,=\,mx\,(d') sont donc parallèles et distinctes ou parallèles et confondues.
Les points O(0 ; 0) et B(1 ; m) appartiennent à la droite (d'), donc le vecteur \overrightarrow{OB}(1\,;\,m) est un vecteur directeur de (d') et de (d).
Droites parallèles  : Deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.
5. Comment décomposer un vecteur en fonction de deux vecteurs non nuls et non colinéaires ?
Base de deux vecteurs : Dans le plan, un point et deux vecteurs non nuls et non colinéaires constituent un repère cartésien. Les deux seuls vecteurs constituent alors une base.
Propriété  : Tout vecteur du plan s'écrit de manière unique en fonction des deux vecteurs d'une base.
Si (\vec{u}\,;\,\vec{v}) est une base du plan, alors tout vecteur \vec{w} s'écrit de manière unique sous la forme :
\vec{w}\,=\,a\vec{u}\,+\,b\vec{v}, avec a\,\in\,R et b\,\in\,R.
(a\,;\,b) est le couple des coordonnées du vecteur \vec{w}.
Exemple  : Soit un parallélogramme ABCD et E le symétrique de D par rapport à C.
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AE}\,=\,\overrightarrow{AD}\,+\,\overrightarrow{DE},
\overrightarrow{AE}\,=\,\overrightarrow{AD}\,+\,2\overrightarrow{DC},
\overrightarrow{AE}\,=\,\overrightarrow{AD}\,+\,2\overrightarrow{AB},
\overrightarrow{AE}\,=\,2\overrightarrow{AB}\,+\,1\overrightarrow{AD},
Le vecteur \overrightarrow{AE} a pour coordonnées (2\,;\,1) dans la base (\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD})  ;
le point E a pour coordonnées (2 ; 1) dans le repère (A\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD}).
Exercice n°10Exercice n°11
À retenir
Soient \vec{u}(a\,;\,b) et \vec{v}(a'\,;\,b'), avec (a\,;\,b)\,\neq\,(0\,;\,0).
\vec{v} est colinéaire à \vec{u} si et seulement si \vec{v}\,=\,k\,\times\,\vec{u} (k\,\in\,R) ou ab'\,-\,a'b\,=\,0;
Toute droite du plan a une équation de la forme ax\,+\,by\,+\,c\,=\,0\,((a\,;\,b)\,\neq\,(0\,;\,0)).
Si b\,\neq\,0, la droite n'est pas verticale et son équation peut s'écrire y\,=\,mx\,+\,p.
Un vecteur directeur est de la forme \vec{u}(-b\,;a) ou \vec{v}(-1\,;\,m).
Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires du plan, tout vecteur \vec{w} de ce plan se décompose de manière unique sous la forme \vec{w}\,=\,a\vec{u}\,+\,b\vec{y} (a\,\in\,R et b\,\in\,R).
(a  ;  b) est le couple de coordonnées de \vec{w}.
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