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Loi binomiale

Un arbre du choix permet de modéliser un enchaînement d'expériences aléatoires. Si on utilise des branches équiprobables, le dessin devient vite fastidieux. On peut y remédier en limitant l'arbre aux cas favorables.
On peut aussi utiliser un arbre pondéré en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
En effectuant n expériences aléatoires identiques, la variable aléatoire X égale au nombre de réussites suit une loi binomiale B(n ; p), où p est la probabilité de réussite à chaque tirage.
1. Comment modéliser la répétition d'expériences identiques et indépendantes ?
Modélisation d'une répétition : Pour modéliser la répétition deux fois de suite d'une même expérience aléatoire, le plus simple est d'utiliser un tableau à double entrée. À partir de trois fois, un arbre est indispensable.
Propriété fondamentale : Si on répète n fois une expérience aléatoire, la probabilité d'obtenir le n-uplet (e1, e2, e3, ... en) est le produit des probabilités d'obtenir chacun des événements élémentaires e1, e2, …, ei, …, en.
P(\{e_{1}\,;\,e_{2}\,;\,\ldots\,;\,e_{i}\,;\,\ldots\,;\,e_{n}\}\,=\,P(e_{1})\,\times\,P(e_{2})\,\times\,P(e_{i})\,\times\,\ldots\,\,P(e_{n}).
Expériences indépendantes : Deux expériences sont indépendantes si le résultat de la première n'influence pas le résultat de la seconde.
Exemple
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : une rouge, deux vertes et trois noires. On tire une boule trois fois de suite, avec remise à chaque fois.
Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte et deux boules noires.
Soient les événements :
V : «  on obtient une boule verte » et N : « on obtient une boule noire ».
Comme on remet chaque fois la boule obtenue, il y a identité et indépendance.
P(V)\,=\,\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{3} et P(N)\,=\,\frac{3}{6}\,=\,\frac{1}{2}.
Dressons l'arbre pondéré des cas favorables :
Trois triplets conviennent : (V ; N ; N), (N ; V ; N) et (N ; N ; V).
p\,=\,\frac{1}{3}\,\times\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\,+\,\frac{1}{2}\,\times\,\frac{1}{3}\,\times\,\frac{1}{2}\,+\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\,\times\,\frac{1}{3} soit p\,=\,\frac{1}{4}.
Exercice n°1Exercice n°2
2. À quelles conditions une loi de probabilité est-elle une loi binomiale ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui conduit à deux issues : réussite ou échec.
Si p est la probabilité de réussite, le probabilité d'échec est 1\,-\,p.
Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle une loi binomiale.
Si n est le nombre de répétitions de l'expérience et p la probabilité de réussite de chacune, on note cette loi B(n ; p).
Pour avoir affaire à une loi binomiale, trois conditions sont donc à réaliser :
- répétition d'un expérience,
- deux issues pour chaque expérience,
- indépendance des résultats.
Exercice n°3Exercice n°4
3. Comment appliquer la formule de la loi binomiale ?
Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n ; p) alors la probabilité de k succès est égale à :
P(X\,=\,k)\,=\,({}^{n}_{k})\,\times\,p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}
Le coefficient binomial ({}^{n}_{k}) indique le nombre de branches de l'arbre du choix aboutissant à un n-uplet solution.
Justification : Pour chacune des branches aboutissant à un n-uplet solution, la probabilité de réussite est de p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}.
Le coefficient binomial est donné par la calculatrice.
- Pour la Texas instrument TI 82 : Dans le menu Maths, choisir l'option PRB et sélectionner nCr.
- Pour la Casio Graph 25 : Dans le menu OPTION, choisir PROB, puis nCr.
(n est le nombre de répétitions et r la probabilité de réussite)
Exercice n°5Exercice n°6
4. Quelles sont les propriétés des coefficients binomiaux ?
Il y a un seul n-uplet comportant n réussites élémentaires et un seul n'en ayant aucune. Donc : ({}^{n}_{n})\,=\,({}^{n}_{0})\,=\,1.
Il y a n n-uplets ayant une seule réussite élémentaire. Donc : ({}^{n}_{1})\,=\,n.
S'il y a k réussites, il y a n\,-\,k échecs. Donc ({}^{n}_{k})\,=\,({}^{n}_{n\,-\,k}).
La feuille de calcul ci-dessous indique dans la colonne A les valeurs de n et en ligne 1 les valeurs de k. Le triangle en rouge s'appelle le triangle de Pascal.
On vérifie que ({}^{3}_{1})\,+\,({}^{3}_{2})\,=\,({}^{4}_{2}).
Plus généralement : ({}^{n}_{k})\,+\,({}^{n}_{k+1})\,=\,({}^{n+1}_{k+1}).
Exercice n°7Exercice n°8
5. Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale ?
Espérance de la variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernouilli
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
xi
0
1
p_{i}
1 − p
p

Donc E(X)\,=\,0\,\times\,(1\,-\,p)\,+\,1\,\times\,p\,=\,p.
Espérance d'une loi binomiale B(n ; p)
Pour n répétitions on obtient E(X)\,=\,n\,\times\,p.
Exercice n°9Exercice n°10
6. Quelle représentation graphique pour la loi binomiale ?
On peut représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons. Pour obtenir l'ensemble des probabilités on peut utiliser un tableur ou une calculatrice.
Exemple : Représentation de la loi binomiale B(10 ; 0,4) à l'aide du tableur EXCEL. :
En B2 on sélectionne la fonction LOI BINOMIALE, puis on écrit :
= LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; FAUX).
On copie ensuite vers le bas.
Pour obtenir le diagramme en bâtons, on sélectionne pour la colonne B le graphique HISTOGRAMME, en modifiant les valeurs de X des abscisses (utiliser l'onglet SÉRIE et modifier l'étiquette X).
(Pour une feuille de calcul OPENOFFICE, on affiche = LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; 0).)
Algorithme d'affichage des probabilités sur la calculatrice :
Variables : n, k : nombres entiers
p, y : nombre réels
Début
Écrire « Nombre de répétitions »
Écrire « Probabilité de réussite »
Lire n et p
Pour cpt ← 0 Jusqu'à n
Faire y ← nCk × pk × (1 − p)n−k
Écrire y
FinFaire
Fin
Sur la Texas Instrument TI 82
Sur la Casio Graph 25
Input N
? → N
Input P
? → P
For (K ; 0 ; N)
For 0 →K to N
N nCr K * PK * (1 − P)N−K → Y
N nCr K * PK * (1 − P)N−K → Y
Disp Y
Y\blacklozenge
Pause
Next
End


Exercice n°11Exercice n°12
À retenir
Si on enchaîne n expériences aléatoires, pour obtenir la probabilité d'apparition d'un n-uplet , on multiplie les probabilités des branches de l'arbre du choix aboutissant à ce n-uplet.
On a affaire à une loi binomiale lorsqu'il y a :
– répétition de la même épreuve,
– indépendance des résultats d'une épreuve à l'autre,
– deux issues à chaque épreuve, réussite ou échec (on formulera clairement ces deux événements).
Dans ce cas , pour la répétition de n épreuves, avec une probabilité p de réussite pour chacune, la variable aléatoire X égale à k réussites (k\,\le\,n) vérifie : P(X\,=\,k)\,=\,({}^{n}_{k})p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}.
Espérance : E(X)\,=\,n\,\times\,p.
Pour k et n nombres entiers, , on a et ({}^{n}_{k})\,=\,({}^{n}_{n-k}) et ({}^{n}_{k})\,+\,({}^{n}_{k+1})\,=\,({}^{n+1}_{k+1}).
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