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Pourcentages

La notion de pourcentage intervient dans de nombreux domaines. Il est aisé de calculer une quantité lorsque l'on connaît le pourcentage qu'elle représente par rapport à une quantité totale. Mais qu'en est-il si l'on cherche une quantité résultant de variations successives en pourcentage ? Comment déterminer le pourcentage global d'évolution ? Dans quels cas est-il possible de trouver facilement une approximation de ce pourcentage ?
1. Comment calculer ou appliquer un pourcentage ?
• Pour calculer le pourcentage que représente une quantité n par rapport à une quantité totale N, il suffit de calculer le quotient \frac{n}{N}, puis de le multiplier par 100.
Par exemple, s'il y a 18 filles dans une classe de 31 élèves, le pourcentage de filles dans la classe est \frac{{18}}{{31}} \times 100, soit environ 58 %.
• On sait que calculer t % d'une quantité revient à la multiplier par \frac{t}{100}.
De la même manière, calculer t' % de t % d'une quantité revient à la multiplier par \frac{t'}{100} \times \frac{t}{100}.
Par exemple, calculer 50 % de 50 % d'une quantité revient à la multiplier par \frac{50}{100} \times \frac{50}{100} = 0,25 donc à calculer 25 % de cette quantité.
Exercice n°1
2. Comment calculer une quantité finale après une hausse ou une baisse de t % ?
On calcule t % de la quantité et l'on ajoute ou retranche ce résultat à la quantité initiale.
• Ainsi, pour une hausse de t %, si P est la quantité initiale et P' la quantité finale, on obtient : P' = P + \frac{t}{{100}} \times P. Soit P' = \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right) × P.
On peut donc calculer directement le coefficient multiplicatif \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right) associé à une augmentation ou à une hausse de t %.
• Pour une baisse de t %, le coefficient multiplicatif est \left( {1 - \frac{t}{{100}}} \right).
Par exemple, si un article qui coûte 40 € est soldé à 30 %, son nouveau prix, en €, sera \left( {1 - \frac{{30}}{{100}}} \right) \times 40, soit 28 €.
Exercice n°2
3. Comment calculer une quantité après plusieurs variations en pourcentage ?
• Si l'on fait varier une quantité de t %, puis de t' %, on obtient la quantité finale en multipliant la quantité initiale par : \left( {1 \pm \frac{t}{{100}}} \right) \times \left( {1 \pm \frac{{t'}}{{100}}} \right).
Par exemple, augmenter un prix de 20 % puis le baisser de 10 % revient à le multiplier par 1,2 × 0,9.
• De manière analogue, appliquer n fois le même pourcentage revient à multiplier n fois par \left( {1 \pm \frac{t}{{100}}} \right), donc à multiplier par \left( {1 \pm \frac{t}{{100}}} \right)^n.
Par exemple, augmenter une production de 4 % par an pendant 10 ans revient à multiplier cette production par (1,04)10.
Exercice n°3Exercice n°4
4. Qu'est-ce qu'une approximation linéaire ?
• Lorsqu'un nombre a est suffisamment petit, (1 + a)n est voisin de 1 + na.
• Ainsi, le coefficient multiplicatif associé à n augmentations de t % : \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right)^n est voisin de 1 + n \times \frac{t}{{100}}, si t est suffisamment petit. C'est ce dernier terme qui est appelé approximation linéaire.
Par exemple, augmenter un prix de 4 % par an pendant 10 ans revient à le multiplier approximativement par 1,4.
Exercice n°5
5. Comment déterminer un pourcentage d'évolution ?
• Lorsque la valeur initiale est x0 et la valeur finale x1, le pourcentage t d'évolution est donné par la relation : \frac{t}{{100}} = \frac{{x_0 - x_1 }}{{x_0 }}.
Par exemple, un prix qui est passé, en 5 ans, de 50 € à 82 € a subi une variation de \frac{{50 - 82}}{{50}} = - 0,64, soit une baisse de 64 %.
• Lorsque l'on veut déterminer un pourcentage d'évolution, connaissant les pourcentages successivement appliqués, on calcule le produit des coefficients multiplicatifs associés. Il suffit ensuite d'égaler le résultat obtenu avec 1 + \frac{t}{{100}} et de résoudre cette équation d'inconnue t.
Exercice n°6Exercice n°7
6. Comment analyser les variations d'un pourcentage ?
On sait que le pourcentage t est le résultat du calcul \frac{n}{N} \times 100. Dans le tableau croisé suivant, on présente conjointement les variations du numérateur et du dénominateur en fonction de celles du pourcentage t.
 
t diminue
t augmente
n
diminue
est fixe
est fixe
augmente
N
est fixe
augmente
diminue
est fixe

Par exemple, si le nombre N d'élèves dans une classe augmente et que le nombre n de filles reste constant, alors le pourcentage t de filles dans la classe va diminuer.
Exercice n°8
À retenir
• Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicatif \left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right). De même, le coefficient multiplicatif associé à une baisse de t % est \left( {1 - \frac{t}{{100}}} \right).
• Lorsqu'une grandeur passe d'une valeur x0 à une valeur x1, le pourcentage t d'évolution est donné par la relation : \frac{t}{{100}} = \frac{{x_0 - x_1}}{{x_0}}.
• Lorsque t est suffisamment petit, n augmentations successives de t % donnent approximativement le même résultat qu'une multiplication par 1 + n \times \frac{t}{{100}}.
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