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Loi binomiale et échantillonnage

Un arbre du choix permet de modéliser un enchaînement d'expériences aléatoires. Si on utilise des branches équiprobables, le dessin devient vite fastidieux. On peut y remédier en limitant l'arbre aux cas favorables.
On peut aussi utiliser un arbre pondéré en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
En effectuant n expériences aléatoires identiques, la variable aléatoire X égale au nombre de réussites suit une loi binomiale B(n ; p), où p est la probabilité de réussite à chaque tirage.
Si on extrait un échantillon d'une population importante, on peut assimiler cette extraction à un tirage avec remise. La variable aléatoire X égale au nombre de réussites suit alors une loi binomiale. À l'aide du tableau des valeurs de P(X\,\le\,k), 0\,\le\,k\,\le\,n on peut déterminer un intervalle dans lequel la fréquence du caractère étudié a t% de risque de ne pas se trouver.
L'observation d'un intervalle de fluctuation à un seuil de risque de t%, déterminé à l'aide de la loi binomiale, permet d'accepter ou rejeter une hypothèse sur une proportion p pour la population totale.
1. Comment modéliser la répétition d'expériences identiques et indépendantes ?
Modélisation d'une répétition : Pour modéliser la répétition deux fois de suite d'une même expérience aléatoire, le plus simple est d'utiliser un tableau à double entrée. À partir de trois fois, un arbre est indispensable.
Propriété fondamentale : Si on répète n fois une expérience aléatoire, la probabilité d'obtenir le n-uplet est le produit des probabilités d'obtenir chacun des événements élémentaires e1, e2, …, ei, …, en.
P(\{e_{1}\,;\,e_{2}\,;\,\ldots\,;\,e_{i}\,;\,\ldots\,;\,e_{n}\}\,=\,P(e_{1})\,\times\,P(e_{2})\,\times\,P(e_{i})\,\times\,\ldots\,\,P(e_{n}).
Expériences indépendantes : Deux expériences sont indépendantes si le résultat de la première n'influence pas le résultat de la seconde.
Exemple
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : une rouge, deux vertes et trois noires. On tire une boule trois fois de suite, avec remise à chaque fois.
Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte et deux boules noires.
Soient les événements :
V : «  on obtient une boule verte » et N : « on obtient une boule noire ».
Comme on remet chaque fois la boule obtenue, il y a identité et indépendance.
P(V)\,=\,\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{3} et P(N)\,=\,\frac{3}{6}\,=\,\frac{1}{2}.
Dressons l'arbre pondéré des cas favorables :
Trois triplets conviennent : (V ; N ; N), (N ; V ; N) et (N ; N ; V).
p\,=\,\frac{1}{3}\,\times\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\,+\,\frac{1}{2}\,\times\,\frac{1}{3}\,\times\,\frac{1}{2}\,+\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\,\times\,\frac{1}{3} soit p\,=\,\frac{1}{4}.
Exercice n°1Exercice n°2
2. À quelles conditions une loi de probabilité est-elle une loi binomiale ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui conduit à deux issues : réussite ou échec.
Si p est la probabilité de réussite, le probabilité d'échec est 1\,-\,p.
Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle une loi binomiale.
Si n est le nombre de répétitions de l'expérience et p la probabilité de réussite de chacune, on note cette loi B(n ; p).
Pour avoir affaire à une loi binomiale, trois conditions sont donc à réaliser :
- répétition d'un expérience,
- deux issues pour chaque expérience,
- indépendance des résultats.
Exercice n°3Exercice n°4
3. Comment appliquer la formule de la loi binomiale ?
Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n ; p) alors la probabilité de k succès est égale à :
P(X\,=\,k)\,=\,({}^{n}_{k})\,\times\,p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}
Le coefficient binomial ({}^{n}_{k}) indique le nombre de branches de l'arbre du choix aboutissant à un n-uplet solution.
Justification : Pour chacune des branches aboutissant à un n-uplet solution, la probabilité de réussite est de p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}.
Le coefficient binomial est donné par la calculatrice.
- Pour la Texas instrument TI 82 : Dans le menu Maths, choisir l'option PRB et sélectionner nCr.
- Pour la Casio Graph 25 : Dans le menu OPTION, choisir PROB, puis nCr.
(n est le nombre de répétitions et r la probabilité de réussite)
Exercice n°5Exercice n°6
4. Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale ?
Espérance de la variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernouilli
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
xi
0
1
p_{i}
1 − p
p

Donc E(X)\,=\,0\,\times\,(1\,-\,p)\,+\,1\,\times\,p\,=\,p.
Espérance d'une loi binomiale B(n ; p)
Pour n répétitions on obtient E(X)\,=\,n\,\times\,p.
Exercice n°7Exercice n°8
5. Quelle représentation graphique pour la loi binomiale ?
On peut représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons. Pour obtenir l'ensemble des probabilités on peut utiliser un tableur ou une calculatrice.
Exemple : Représentation de la loi binomiale B(10 ; 0,4) à l'aide du tableur EXCEL. :
En B2 on sélectionne la fonction LOI BINOMIALE, puis on écrit :
= LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; FAUX).
On copie ensuite vers le bas.
Pour obtenir le diagramme en bâtons, on sélectionne pour la colonne B le graphique HISTOGRAMME, en modifiant les valeurs de X des abscisses (utiliser l'onglet SÉRIE et modifier l'étiquette X).
(Pour une feuille de calcul OPENOFFICE, on affiche = LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; 0).)
Algorithme d'affichage des probabilités sur la calculatrice :
Variables : n, k : nombres entiers
p, y : nombre réels
Début
Écrire « Nombre de répétitions »
Écrire « Probabilité de réussite »
Lire n et p
Pour cpt ← 0 Jusqu'à n
Faire y ← nCk × pk × (1 − p)n−k
Écrire y
FinFaire
Fin
Sur la Texas Instrument TI 82
Sur la Casio Graph 25
Input N
? → N
Input P
? → P
For (K ; 0 ; N)
For 0 →K to N
N nCr K * PK * (1 − P)N−K → Y
N nCr K * PK * (1 − P)N−K → Y
Disp Y
Y\blacklozenge
Pause
Next
End


Exercice n°9
6. Qu'est-ce qu'un échantillon ?
Échantillon : Comme on l'a vu en seconde, un échantillon de taille n est le n-uplet (e_{1}\,; e_{2}\,;\,\ldots\,;\,e_{i}\,;\,\ldots\,;\,e_{n}) obtenu en répétant n fois une même expérience aléatoire.
Fluctuation d'échantillonnage : C'est l'écart maximal des fréquences d'un caractère pour un ensemble d `échantillons.
Intervalle de fluctuation : Supposons qu'un caractère apparaisse dans une proportion p dans une population. Pour un échantillon de taille n, n\,\ge\,25, on peut estimer que sa fréquence f observée (0,2\,\le\,f\,\le0,8) appartient à l'intervalle \left[p\,-\,\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p\,+\,\frac{1}{\sqrt{n}}\right] dans au moins 95 % des cas.
C'est à dire que p appartient à l'intervalle \left[f\,-\,\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f\,+\,\frac{1}{\sqrt{n}}\right] dans au moins 95 % des cas.
Cet intervalle s'appelle aussi intervalle de confiance, il peut être restreint en utilisant la loi binomiale.
Simulation : L'utilisation d'un algorithme sur la calculatrice, ou sur un tableur, permet de modéliser la répétition d'une expérience aléatoire.
Par exemple, Seq(Int(6*Random+1), 1, x, 10 , 1) permet de simuler 10 lancers d'un dé à six faces, numérotées de 1 à 6.
Exercice n°10Exercice n°11
7. Comment déterminer un intervalle de fluctuation pour une loi binomiale ?
Exemple :
Dans une entreprise multinationale 40 % des salariés sont français. On veut déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence f de ce caractère pour des échantillons de taille 10.
Dans un échantillon on choisit un salarié au hasard. Compte-tenu du grand nombre de salariés de l'entreprise, ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X, égale au nombre de Français, suit la loi binomiale B(10 ; 0,4).
On dresse à présent la table des probabilités cumulées.
Sur une feuille de calcul EXCEL on obtient :
On a affiché en B2 la formule = LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; VRAI) (ou = LOI BINOMIALE (A2 ; 10 ; 0,4 ; 1) sur une feuille de calcul OPEN OFFICE).
On lit :
p(X\,=\,0)\,\approx\,0,006 et p(X\,\le\,1)\,\approx\,0,046 donc p(X\,\le\,1)\,>\,0,025
p(X\,=\,6)\,\approx\,0,945 et p(X\,\le\,7)\,\approx\,0,088 donc p(X\,\le\,7)\,>\,0,975
Donc p(1\,\le\,X\,\le\,7)\,>\,0,95.
On peut estimer que le nombre de Français variera de 1 à 7. La fréquence appartiendrait donc à l'intervalle [0,1 ; 0,7] avec une probabilité d'au moins 0,95. Soit un risque, de probabilité 0,05, que la fréquence n'appartienne pas à cet intervalle.
Cas général
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, l'intervalle de fluctuation de la fréquence f d'un caractère, au seuil de risque de t % avec un échantillon de taille n , est de la forme \left[\frac{a}{n}\,;\,\frac{b}{n}\right].
L'intervalle de confiance est de 1 - t %.
a est le plus petit entier tel que P(X\,\le\,a)\,>\,\frac{t}{2},
b est le plus petit entier tel que P(X\,\le\,b)\,\ge\,1\,-\,\frac{t}{2}.
Exercice n°12Exercice n°13
8. Comment prendre une décision à l'aide d'un intervalle de fluctuation ?
On émet pour hypothèse qu'un caractère a une proportion p dans une population.
Dans un échantillon-test de taille n, on s'aperçoit que ce caractère a une fréquence f.
Conclusions possibles :
– Si f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation des fréquences à t % de risque, on rejette l'hypothèse ;
– Si f appartient à cet intervalle on l'accepte.
Exercice n°14Exercice n°15
À retenir
Si on enchaîne n expériences aléatoires, pour obtenir la probabilité d'apparition d'un n-uplet , on multiplie les probabilités des branches de l'arbre du choix aboutissant à ce n-uplet.
On a affaire à une loi binomiale lorsqu'il y a :
– répétition de la même épreuve,
– indépendance des résultats d'une épreuve à l'autre,
– deux issues à chaque épreuve, réussite ou échec (on formulera clairement ces deux événements).
Dans ce cas , pour la répétition de n épreuves, avec une probabilité p de réussite pour chacune, la variable aléatoire X égale à k réussites (k\,\le\,n) vérifie : P(X\,=\,k)\,=\,({}^{n}_{k})p^{k}\,\times\,(1\,-\,p)^{n-k}.
Espérance : E(X)\,=\,n\,\times\,p.
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, l'intervalle de fluctuation de la fréquence f d'un caractère, au seuil de risque de t % avec un échantillon de taille n est de la forme \left[\frac{a}{n}\,;\,\frac{b}{n}\right].
a est le plus petit entier tel que P(X\,\le\,a)\,>\,\frac{t}{2},
b est le plus petit entier tel que P(X\,\le\,b)\,\ge\,1-\frac{t}{2}.
Si on émet l'hypothèse qu'un caractère apparaît dans une proportion p dans une population et que :
– dans un échantillon-test de taille n, on observe une fréquence f.
– I est l'intervalle de fluctuation de la fréquence à t % de risque dans les échantillons de taille n, alors :
si f\,\notin\,I, l'hypothèse est rejetée au seuil de risque de t %,
si f\,\in\,I, l'hypothèse est acceptée.
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