Modéliser l'écoulement d'un fluide

Énoncé

Exercice 1

On considère une canalisation cylindrique AB où s'écoule de l'eau, considérée comme un fluide parfait. Les diamètres des canalisations en A et en B sont respectivement :
D_A = 11,0 cm et D_B = 9,0 cm.
Le point B se trouve placé 10 m plus haut que le point A par rapport au niveau du sol. La pression en A est P_A = 5,0 bar = 5 × 10⁵ Pa.

1. La vitesse moyenne de l'eau en A est $v_{A} = 4,0\textrm{m}\, \cdot \, \textrm{s}^{-1}$ . En utilisant la conservation du débit volumique, déterminer la vitesse v_B du fluide en B.

2. Sachant que la vitesse en A est inchangée et en admettant que la vitesse en B est $6,0 \textrm{m}\, \cdot \, \textrm{s}^{-1}$ , évaluer la pression P_B en B.
Données de l'énoncé :
$g \approx 10 \textrm{m}\, \cdot \, \textrm{s}^{-2}\: ;\: \mu _{eau} = 1\, 000\, \textrm{kg}\, \cdot \, \textrm{m}^{-3}.$
Relation de Bernoulli entre deux points A et B :
$g\, \times\left ( z_{\textrm{A}} - z_{\textrm{B}} \right ) + \frac{v_{A}^{2} - v_{B}^{2}}{2} + \frac{P_{\textrm{A}} - P_{\textrm{B}}}{\mu } = 0.$

La bonne méthode

1. Le débit volumique Q_v est le même en A et en B. On peut donc, en appliquant aux points A et B la relation reliant Q_v à la vitesse des écoulements du fluide du cours, déduire v_B. La canalisation étant cylindrique, les sections de passage du fluide en A et en B s'écrivent : $S_{\textrm{A}} = \frac{\pi D_{\textrm{A}}^{2}}{4}$ et $S_{\textrm{B}} = \frac{\pi D_{\textrm{B}}^{2}}{4}$ .
2. Appliquer la relation de Bernoulli entre le point A et le point B, en notant que z_A − z_B = −10m, d'après l'énoncé.

Exercice 2

En vol stabilisé à haute altitude, la cabine d'un avion A380 est pressurisée. La pression à l'intérieur est alors supérieure à la pression à l'extérieur. Afin de simuler les conditions réelles de différence de pression ΔP entre l'intérieur et l'extérieur de l'avion, on réalise, en laboratoire d'essais, une mise en pression de la cabine. Les conditions du test sont les suivantes :

• pression atmosphérique extérieure : P_ext = 1 013 hPa ;

• différence de pression ΔP = 700 hPa.

Les risques physiologiques dus à l'augmentation de pression de la personne qui resterait dans la cabine sont-ils importants ? Justifier la réponse.

1. Déterminer la pression P_int à l'intérieur de l'avion.

2. La porte de l'avion est assimilée à un rectangle de 126 cm de largeur et de 210 cm de hauteur. Calculer, en tenant compte des conditions de simulation, la valeur de la résultante des forces pressantes $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{\textrm{int}}} - \overrightarrow{F_{\textrm{ext}}}$ qui s'exercent sur la porte. Cette force est-elle exercée vers l'intérieur de la cabine ou vers l'extérieur ?

3. On veut évaluer les risques physiologiques encourus par une personne qui resterait dans la cabine pendant le test. Pour cela, on compare la différence de pression ΔP subie par cette personne à celle subie par un plongeur en mer se trouvant à 10 m de profondeur. L'augmentation de pression subie par un plongeur en mer se trouvant à une hauteur h sous la surface est donnée par l'équation fondamentale de l'hydrostatique : ΔP = ρgh dans un fluide incompressible immobile, avec $\rho = 1\, 035\, \textrm{kg}\, \cdot \, \textrm{m}^{-3}$ et $g = 9,8\, \textrm{m}\, \cdot \, \textrm{s}^{-2}$ .
Les risques physiologiques dus à l'augmentation de pression de la personne qui resterait dans la cabine sont-ils importants ? Justifier la réponse.

Voir le corrigé

Corrigé

Exercice 1

1. La conservation du débit volumique le long de la canalisation nous permet d'écrire $Q_{v_{\textrm{A}}} = Q_{v_{\textrm{B}}}$ , soit v_A × S_A = v_B × S_B. D'où $v_{\textrm{B}} = v_{\textrm{A}} \times \frac{S_{\textrm{A}}}{S_{\textrm{B}}}.$
La conduite étant cylindrique, on a $S_{\textrm{A}} = \frac{\pi D_{\textrm{A}}^{2}}{4}$ et $S_{\textrm{B}} = \frac{\pi D_{\textrm{B}}^{2}}{4}$ .
Donc $v_{\textrm{B}} = v_{\textrm{A}} \times \frac{D_{\textrm{A}}^{2}}{D_{\textrm{B}}^{2}}$ .
Application numérique : $v_{\textrm{B}} = 4 \times \frac{(11\times 10^{-2})^{2}}{(9\times 10^{-2})} \approx 6\textrm{m}\, \cdot \, \textrm{s}^{-1}$ .

2. Ici on applique la relation de Bernoulli en isolant P_A :
$g \times (z_{\textrm{A}} - z_{\textrm{B}}) + \frac{v_{\textrm{A}}^{2} - v_{\textrm{B}}^{2}}{2} = -\frac{P_{\textrm{A}} - P_{\textrm{B}}}{\mu }$ , d'où $\mu \times \left (g \times (z_{\textrm{A}} - z_{\textrm{B}}) + \frac{v_{\textrm{A}}^{2} - v_{\textrm{B}}^{2}}{2} \right ) + P_{\textrm{A}} - P_{\textrm{B}}$ .
Le point B étant 10 m plus haut que le point A, on a z_A − z_B = −10 m.
Donc $P_{\textrm{B}} = 1\, 000\times \left ( 10\times (-10)+\frac{4^{2} - 6^{2}}{2} \right ) + 5\times 10^{5} = 3,9 \times 10^{5}\, \textrm{Pa} = 3,9\, \textrm{bar}.$
Cette diminution en pression conjointe à l'augmentation de la vitesse du fluide dans la canalisation est une manifestation de l'effet Venturi.

Exercice 2

1. Il est indiqué dans l'énoncé que la pression dans la cabine est supérieure à la pression extérieure. De plus, la différence de pression vaut ΔP = 700 hPa.
On a donc P_int= P_ext + ΔP = 1 013 + 700 = 1 713 hPa = 1,713 × 10⁵ Pa.

2. On utilise la définition de la pression pour calculer les forces pressantes à l'intérieur et à l'extérieur de la cabine :
F_int= P_int × S_cabine et F_ext = P_ext × S_cabine. Donc F = P_int × S_cabine − P_ext × S_cabine = ΔP × S_cabine.
Applications numériques : $F = 700 \times 10^{2} \times 1,26 \times 2,10 \approx 1,85 \times 10^{5}\: \textrm{N}.$
Cette force s'exerce de l'intérieur vers l'extérieur de l'appareil.

3. On applique la relation fondamentale de l'hydrostatique au cas du plongeur immergé à h = 10 m de profondeur :
$\Delta P = \rho gh = 1\, 035 \times 9,8 \times 10 \approx 1,01\, \times \, 10^{5}\: \textrm{Pa}.$
Cette variation de pression étant moins importante que celle présente entre l'intérieur et l'extérieur de la cabine, on en déduit que les risques physiologiques dus aux variations de pression subies sont moins importants pour les passagers de l'avion que pour un plongeur à 10 m de profondeur.